MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haustsms2 Structured version   Unicode version

Theorem haustsms2 18158
Description: A Hausdorff group has at most one limit point for a given sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmscl.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmscl.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmscl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmscl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
haustsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
haustsms.h  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
Assertion
Ref Expression
haustsms2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( G tsums  F )  -> 
( G tsums  F )  =  { X } ) )

Proof of Theorem haustsms2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( G tsums  F ) )  ->  X  e.  ( G tsums  F ) )
2 tsmscl.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 tsmscl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tsmscl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
5 tsmscl.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
6 tsmscl.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
7 haustsms.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
8 haustsms.h . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8haustsms 18157 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( G tsums  F ) )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( G tsums  F ) )  ->  E* x  x  e.  ( G tsums  F
) )
11 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  e.  ( G tsums 
F )  <->  X  e.  ( G tsums  F ) ) )
1211moi2 3107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  ( G tsums  F )  /\  E* x  x  e.  ( G tsums  F ) )  /\  ( x  e.  ( G tsums  F )  /\  X  e.  ( G tsums  F ) ) )  ->  x  =  X )
1312ancom2s 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  ( G tsums  F )  /\  E* x  x  e.  ( G tsums  F ) )  /\  ( X  e.  ( G tsums  F )  /\  x  e.  ( G tsums  F ) ) )  ->  x  =  X )
1413expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  ( G tsums  F )  /\  E* x  x  e.  ( G tsums  F ) )  /\  X  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  ->  x  =  X ) )
151, 10, 1, 14syl21anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  ->  x  =  X ) )
16 elsn 3821 . . . . 5  |-  ( x  e.  { X }  <->  x  =  X )
1715, 16syl6ibr 219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  ->  x  e.  { X } ) )
1817ssrdv 3346 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  C_  { X } )
19 snssi 3934 . . . 4  |-  ( X  e.  ( G tsums  F
)  ->  { X }  C_  ( G tsums  F
) )
2019adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( G tsums  F ) )  ->  { X }  C_  ( G tsums  F ) )
2118, 20eqssd 3357 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  =  { X } )
2221ex 424 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( G tsums  F )  -> 
( G tsums  F )  =  { X } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E*wmo 2281    C_ wss 3312   {csn 3806   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   TopOpenctopn 13641  CMndccmn 15404   TopSpctps 16953   Hauscha 17364   tsums ctsu 18147
This theorem is referenced by:  haustsmsid  18162  xrge0tsms  18857  xrge0tsmsd  24215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-nei 17154  df-haus 17371  df-fil 17870  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tsms 18148
  Copyright terms: Public domain W3C validator