Theorem hbco 3293

Description: Bound-variable hypothesis builder for function value.

Hypotheses

Ref	Expression
hbco.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbco.2	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbco	|- (y e. (A o. B) -> A.x y e. (A o. B))

Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 3193	. 2 |- (A o. B) = {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)}
2		ax-17 973	. . . . . 6 |- (y e. z -> A.x y e. z)
3		hbco.2	. . . . . 6 |- (y e. B -> A.x y e. B)
4		ax-17 973	. . . . . 6 |- (y e. v -> A.x y e. v)
5	2, 3, 4	hbbr 2663	. . . . 5 |- (zBv -> A.x zBv)
6		hbco.1	. . . . . 6 |- (y e. A -> A.x y e. A)
7		ax-17 973	. . . . . 6 |- (y e. w -> A.x y e. w)
8	4, 6, 7	hbbr 2663	. . . . 5 |- (vAw -> A.x vAw)
9	5, 8	hban 1011	. . . 4 |- ((zBv /\ vAw) -> A.x(zBv /\ vAw))
10	9	hbex 1008	. . 3 |- (E.v(zBv /\ vAw) -> A.xE.v(zBv /\ vAw))
11	10	hbopab 2818	. 2 |- (y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)} -> A.x y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)})
12	1, 11	hbxfr 1566	1 |- (y e. (A o. B) -> A.x y e. (A o. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 956   e. wcel 960  E.wex 982   class class class wbr 2624  {copab 2671   o. ccom 3180

This theorem is referenced by:  hbfun 3542  fopabco 3838  ac6lem 4764

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-co 3193

Copyright terms: Public domain