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Theorem hbexgVD 28998
Description: Virtual deduction proof of hbexg 28621. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbexg 28621 is hbexgVD 28998 without virtual deductions and was automatically derived from hbexgVD 28998. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
1::  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x  A. y ( ph  ->  A. x ph ) ).
2:1:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y  A. x ( ph  ->  A. x ph ) ).
3:2:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x  ( ph  ->  A. x ph ) ).
4:3:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x  ( -.  ph  ->  A. x -.  ph ) ).
5::  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  <->  A. y  A. x ( ph  ->  A. x ph ) )
6::  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. y  A. y A. x ( ph  ->  A. x ph ) )
7:5:  |-  ( A. y A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  <->  A. y A. y A. x ( ph  ->  A. x ph ) )
8:5,6,7:  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. y  A. x A. y ( ph  ->  A. x ph ) )
9:8,4:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y  A. x ( -.  ph  ->  A. x -.  ph ) ).
10:9:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x  A. y ( -.  ph  ->  A. x -.  ph ) ).
11:10:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y  ( -.  ph  ->  A. x -.  ph ) ).
12:11:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y  ( A. y -.  ph  ->  A. x A. y -.  ph ) ).
13:12:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  ( A.  y -.  ph  ->  A. x A. y -.  ph ) ).
14::  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x  A. x A. y ( ph  ->  A. x ph ) )
15:13,14:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x  ( A. y -.  ph  ->  A. x A. y -.  ph ) ).
16:15:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x  ( -.  A. y -.  ph  ->  A. x -.  A. y -.  ph ) ).
17:16:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  ( -.  A. y -.  ph  ->  A. x -.  A. y -.  ph ) ).
18::  |-  ( E. y ph  <->  -.  A. y -.  ph )
19:17,18:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  ( E.  y ph  ->  A. x -.  A. y -.  ph ) ).
20:18:  |-  ( A. x E. y ph  <->  A. x -.  A. y -.  ph )
21:19,20:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  ( E.  y ph  ->  A. x E. y ph ) ).
22:8,21:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y  ( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) ).
23:14,22:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x  A. y ( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) ).
qed:23:  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x  A. y ( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) ).
Assertion
Ref Expression
hbexgVD  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x A. y
( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) )

Proof of Theorem hbexgVD
StepHypRef Expression
1 hba1 1731 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x A. x A. y ( ph  ->  A. x ph ) )
2 hba1 1731 . . . . 5  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. y A. y A. x ( ph  ->  A. x ph ) )
3 alcom 1723 . . . . 5  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  <->  A. y A. x (
ph  ->  A. x ph )
)
43albii 1556 . . . . 5  |-  ( A. y A. x A. y
( ph  ->  A. x ph )  <->  A. y A. y A. x ( ph  ->  A. x ph ) )
52, 3, 43imtr4i 257 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. y A. x A. y ( ph  ->  A. x ph ) )
6 idn1 28641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x A. y (
ph  ->  A. x ph ) ).
7 ax-7 1720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. y A. x
( ph  ->  A. x ph ) )
86, 7e1_ 28704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y A. x (
ph  ->  A. x ph ) ).
9 sp 1728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x ( ph  ->  A. x ph )
)
108, 9e1_ 28704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x ( ph  ->  A. x ph ) ).
11 hbntal 28618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) )
1210, 11e1_ 28704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) ).
135, 12gen11nv 28694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y A. x ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) ).
14 ax-7 1720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y A. x ( -. 
ph  ->  A. x  -.  ph )  ->  A. x A. y
( -.  ph  ->  A. x  -.  ph )
)
1513, 14e1_ 28704 . . . . . . . . . . . 12  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x A. y ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) ).
16 sp 1728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x A. y ( -. 
ph  ->  A. x  -.  ph )  ->  A. y ( -. 
ph  ->  A. x  -.  ph ) )
1715, 16e1_ 28704 . . . . . . . . . . 11  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) ).
18 hbalg 28620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph )  ->  A. y ( A. y  -.  ph  ->  A. x A. y  -.  ph )
)
1917, 18e1_ 28704 . . . . . . . . . 10  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y ( A. y  -.  ph  ->  A. x A. y  -.  ph ) ).
20 sp 1728 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( A. y  -.  ph  ->  A. x A. y  -.  ph )  ->  ( A. y  -. 
ph  ->  A. x A. y  -.  ph ) )
2119, 20e1_ 28704 . . . . . . . . 9  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  ( A. y  -.  ph  ->  A. x A. y  -.  ph ) ).
221, 21gen11nv 28694 . . . . . . . 8  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x ( A. y  -.  ph  ->  A. x A. y  -.  ph ) ).
23 hbntal 28618 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( A. y  -.  ph  ->  A. x A. y  -.  ph )  ->  A. x ( -. 
A. y  -.  ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) )
2422, 23e1_ 28704 . . . . . . 7  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x ( -.  A. y  -.  ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) ).
25 sp 1728 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( -.  A. y  -.  ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph )  ->  ( -.  A. y  -.  ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) )
2624, 25e1_ 28704 . . . . . 6  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  ( -.  A. y  -. 
ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) ).
27 df-ex 1532 . . . . . 6  |-  ( E. y ph  <->  -.  A. y  -.  ph )
28 imbi1 313 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y ph  <->  -.  A. y  -.  ph )  ->  (
( E. y ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph )  <->  ( -.  A. y  -.  ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) ) )
2928biimprcd 216 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  -. 
ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph )  -> 
( ( E. y ph 
<->  -.  A. y  -. 
ph )  ->  ( E. y ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) ) )
3026, 27, 29e10 28772 . . . . 5  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  ( E. y ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) ).
3127albii 1556 . . . . 5  |-  ( A. x E. y ph  <->  A. x  -.  A. y  -.  ph )
32 imbi2 314 . . . . . 6  |-  ( ( A. x E. y ph 
<-> 
A. x  -.  A. y  -.  ph )  -> 
( ( E. y ph  ->  A. x E. y ph )  <->  ( E. y ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) ) )
3332biimprcd 216 . . . . 5  |-  ( ( E. y ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph )  ->  (
( A. x E. y ph  <->  A. x  -.  A. y  -.  ph )  -> 
( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) ) )
3430, 31, 33e10 28772 . . . 4  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  ( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) ).
355, 34gen11nv 28694 . . 3  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. y ( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) ).
361, 35gen11nv 28694 . 2  |-  (. A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->.  A. x A. y ( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) ).
3736in1 28638 1  |-  ( A. x A. y ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x A. y
( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530   E.wex 1531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-ex 1532  df-nf 1535  df-vd1 28637
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