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Theorem hbimpg 28568
Description: A closed form of hbim 1836. Derived from hbimpgVD 28943. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hbimpg  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( ( ph  ->  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) )

Proof of Theorem hbimpg
StepHypRef Expression
1 hba1 1804 . . 3  |-  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x A. x (
ph  ->  A. x ph )
)
2 hba1 1804 . . 3  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->  A. x A. x ( ps  ->  A. x ps ) )
31, 2hban 1850 . 2  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( A. x (
ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
) )
4 hbntal 28567 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( -.  ph  ->  A. x  -.  ph )
)
6519.21bi 1774 . . . 4  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  ( -.  ph 
->  A. x  -.  ph ) )
7 pm2.21 102 . . . . 5  |-  ( -. 
ph  ->  ( ph  ->  ps ) )
87alimi 1568 . . . 4  |-  ( A. x  -.  ph  ->  A. x
( ph  ->  ps )
)
96, 8syl6 31 . . 3  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  ( -.  ph 
->  A. x ( ph  ->  ps ) ) )
10 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( ps  ->  A. x ps ) )
111019.21bi 1774 . . . 4  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  ( ps  ->  A. x ps )
)
12 ax-1 5 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ph  ->  ps ) )
1312alimi 1568 . . . 4  |-  ( A. x ps  ->  A. x
( ph  ->  ps )
)
1411, 13syl6 31 . . 3  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  ( ps  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) )
159, 14jad 156 . 2  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  ( ( ph  ->  ps )  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) )
163, 15alrimih 1574 1  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( ( ph  ->  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-11 1761
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-ex 1551  df-nf 1554
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