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Theorem hbimpgVD 29190
Description: Virtual deduction proof of hbimpg 28813. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbimpg 28813 is hbimpgVD 29190 without virtual deductions and was automatically derived from hbimpgVD 29190. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
1::  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ) ).
2:1:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  A. x ( ph  ->  A. x ph ) ).
3::  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ) ,  -.  ph  ->.  -.  ph ).
4:2:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  A. x ( -.  ph  ->  A. x -.  ph ) ).
5:4:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( -.  ph  ->  A. x -.  ph ) ).
6:3,5:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ) ,  -.  ph  ->.  A. x -.  ph ).
7::  |-  ( -.  ph  ->  ( ph  ->  ps ) )
8:7:  |-  ( A. x -.  ph  ->  A. x ( ph  ->  ps ) )
9:6,8:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ) ,  -.  ph  ->.  A. x ( ph  ->  ps ) ).
10:9:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( -.  ph  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) ).
11::  |-  ( ps  ->  ( ph  ->  ps ) )
12:11:  |-  ( A. x ps  ->  A. x ( ph  ->  ps ) )
13:1:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ).
14:13:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( ps  ->  A. x ps ) ).
15:14,12:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( ps  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) ).
16:10,15:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( ( -.  ph  \/  ps )  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) ).
17::  |-  ( ( ph  ->  ps )  <->  ( -.  ph  \/  ps ) )
18:16,17:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( ( ph  ->  ps )  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) ).
19::  |-  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x A. x (  ph  ->  A. x ph ) )
20::  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->  A. x A. x (  ps  ->  A. x ps ) )
21:19,20:  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->  A. x ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ) )
22:21,18:  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  A. x ( ( ph  ->  ps )  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) ).
qed:22:  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->  A. x ( ( ph  ->  ps )  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) )
Assertion
Ref Expression
hbimpgVD  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( ( ph  ->  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) )

Proof of Theorem hbimpgVD
StepHypRef Expression
1 hba1 1807 . . . 4  |-  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x A. x (
ph  ->  A. x ph )
)
2 hba1 1807 . . . 4  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  ->  A. x A. x ( ps  ->  A. x ps ) )
31, 2hban 1853 . . 3  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( A. x (
ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
) )
4 idn2 28886 . . . . . . . 8  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ) ,.  -.  ph  ->.  -.  ph ).
5 idn1 28837 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
) ).
6 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( ph  ->  A. x ph ) )
75, 6e1_ 28900 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  A. x ( ph  ->  A. x ph ) ).
8 hbntal 28812 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) )
97, 8e1_ 28900 . . . . . . . . 9  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  A. x ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) ).
10 sp 1766 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph )  ->  ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) )
119, 10e1_ 28900 . . . . . . . 8  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph ) ).
12 pm2.27 38 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
ph  ->  ( ( -. 
ph  ->  A. x  -.  ph )  ->  A. x  -.  ph ) )
134, 11, 12e21 29014 . . . . . . 7  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ) ,.  -.  ph  ->.  A. x  -.  ph ).
14 pm2.21 103 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
ph  ->  ( ph  ->  ps ) )
1514alimi 1569 . . . . . . 7  |-  ( A. x  -.  ph  ->  A. x
( ph  ->  ps )
)
1613, 15e2 28904 . . . . . 6  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ) ,.  -.  ph  ->.  A. x
( ph  ->  ps ) ).
1716in2 28878 . . . . 5  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( -.  ph  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) ).
18 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( ps  ->  A. x ps ) )
195, 18e1_ 28900 . . . . . . 7  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  A. x ( ps  ->  A. x ps ) ).
20 sp 1766 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( ps  ->  A. x ps )  -> 
( ps  ->  A. x ps ) )
2119, 20e1_ 28900 . . . . . 6  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( ps  ->  A. x ps ) ).
22 ax-1 6 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ph  ->  ps ) )
2322alimi 1569 . . . . . 6  |-  ( A. x ps  ->  A. x
( ph  ->  ps )
)
24 imim1 73 . . . . . 6  |-  ( ( ps  ->  A. x ps )  ->  ( ( A. x ps  ->  A. x ( ph  ->  ps ) )  ->  ( ps  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) ) )
2521, 23, 24e10 28967 . . . . 5  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( ps  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) ).
26 jao 500 . . . . 5  |-  ( ( -.  ph  ->  A. x
( ph  ->  ps )
)  ->  ( ( ps  ->  A. x ( ph  ->  ps ) )  -> 
( ( -.  ph  \/  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) ) )
2717, 25, 26e11 28961 . . . 4  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( ( -.  ph  \/  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) ).
28 imor 403 . . . 4  |-  ( (
ph  ->  ps )  <->  ( -.  ph  \/  ps ) )
29 imbi1 315 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  ->  ps ) 
<->  ( -.  ph  \/  ps ) )  ->  (
( ( ph  ->  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
)  <->  ( ( -. 
ph  \/  ps )  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) ) )
3029biimprcd 218 . . . 4  |-  ( ( ( -.  ph  \/  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
)  ->  ( (
( ph  ->  ps )  <->  ( -.  ph  \/  ps ) )  ->  (
( ph  ->  ps )  ->  A. x ( ph  ->  ps ) ) ) )
3127, 28, 30e10 28967 . . 3  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  ( ( ph  ->  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) ).
323, 31gen11nv 28890 . 2  |-  (. ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps  ->  A. x ps ) )  ->.  A. x ( ( ph  ->  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) ).
3332in1 28834 1  |-  ( ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  /\  A. x ( ps 
->  A. x ps )
)  ->  A. x
( ( ph  ->  ps )  ->  A. x
( ph  ->  ps )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360   A.wal 1550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-6 1747  ax-11 1764
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-ex 1552  df-nf 1555  df-vd1 28833  df-vd2 28842
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