Theorem hbres 3370

Description: Bound-variable hypothesis builder for restriction.

Hypotheses

Ref	Expression
hbres.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbres.2	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbres	|- (y e. (A |` B) -> A.x y e. (A |` B))

Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 3190	. 2 |- (A |` B) = (A i^i (B X. V))
2		hbres.1	. . 3 |- (y e. A -> A.x y e. A)
3		hbres.2	. . . 4 |- (y e. B -> A.x y e. B)
4		ax-17 971	. . . 4 |- (y e. V -> A.x y e. V)
5	3, 4	hbxp 3204	. . 3 |- (y e. (B X. V) -> A.x y e. (B X. V))
6	2, 5	hbin 2220	. 2 |- (y e. (A i^i (B X. V)) -> A.x y e. (A i^i (B X. V)))
7	1, 6	hbxfr 1563	1 |- (y e. (A |` B) -> A.x y e. (A |` B))

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 954   e. wcel 958  Vcvv 1811   i^i cin 2046   X. cxp 3168   |` cres 3172

This theorem is referenced by:  frsucopab 3954  unbnn 4544  inf0 4606  trcl 4645  alephfplem2 4897  om2uzsuc 6296  hbsum1 6983  hbsum 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667  df-xp 3184  df-res 3190

Copyright terms: Public domain