Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbt Structured version   Unicode version

Theorem hbt 27302
 Description: The Hilbert Basis Theorem - the ring of univariate polynomials over a Noetherian ring is a Noetherian ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hbt.p Poly1
Assertion
Ref Expression
hbt LNoeR LNoeR

Proof of Theorem hbt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnrrng 27284 . . 3 LNoeR
2 hbt.p . . . 4 Poly1
32ply1rng 16634 . . 3
41, 3syl 16 . 2 LNoeR
5 eqid 2435 . . . . . . . 8
6 eqid 2435 . . . . . . . 8 LIdeal LIdeal
75, 6islnr3 27287 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal NoeACS
87simprbi 451 . . . . . 6 LNoeR LIdeal NoeACS
98adantr 452 . . . . 5 LNoeR LIdeal LIdeal NoeACS
10 eqid 2435 . . . . . . 7 LIdeal LIdeal
11 eqid 2435 . . . . . . 7 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
122, 10, 11, 6hbtlem7 27297 . . . . . 6 LIdeal ldgIdlSeqLIdeal
131, 12sylan 458 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeqLIdeal
141ad2antrr 707 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
15 simplr 732 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal LIdeal
16 simpr 448 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
17 peano2nn0 10252 . . . . . . . 8
1817adantl 453 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
19 nn0re 10222 . . . . . . . . 9
2019lep1d 9934 . . . . . . . 8
2120adantl 453 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal
222, 10, 11, 14, 15, 16, 18, 21hbtlem4 27298 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq
2322ralrimiva 2781 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq
24 nacsfix 26757 . . . . 5 LIdeal NoeACS ldgIdlSeqLIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
259, 13, 23, 24syl3anc 1184 . . . 4 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq
26 fzfi 11303 . . . . . . 7
27 eqid 2435 . . . . . . . . 9 RSpan RSpan
28 simpll 731 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal LNoeR
29 simplr 732 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal LIdeal
30 elfznn0 11075 . . . . . . . . . 10
3130adantl 453 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal
322, 10, 11, 27, 28, 29, 31hbtlem6 27301 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
3332ralrimiva 2781 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
34 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11 RSpan RSpan
3534fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
3635fveq1d 5722 . . . . . . . . 9 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
3736sseq2d 3368 . . . . . . . 8 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
3837ac6sfi 7343 . . . . . . 7 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
3926, 33, 38sylancr 645 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
4039adantr 452 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
41 frn 5589 . . . . . . . . . . . . 13
4241ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
43 inss1 3553 . . . . . . . . . . . 12
4442, 43syl6ss 3352 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
4544unissd 4031 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
46 unipw 4406 . . . . . . . . . 10
4745, 46syl6sseq 3386 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
48 simpllr 736 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan LIdeal
49 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
5049, 10lidlss 16272 . . . . . . . . . 10 LIdeal
5148, 50syl 16 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
5247, 51sstrd 3350 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
53 fvex 5734 . . . . . . . . 9
5453elpw2 4356 . . . . . . . 8
5552, 54sylibr 204 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
56 simprl 733 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
57 ffn 5583 . . . . . . . . 9
58 fniunfv 5986 . . . . . . . . 9
5956, 57, 583syl 19 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
60 inss2 3554 . . . . . . . . . . 11
6156ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6260, 61sseldi 3338 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6362ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
64 iunfi 7386 . . . . . . . . 9
6526, 63, 64sylancr 645 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
6659, 65eqeltrrd 2510 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
67 elin 3522 . . . . . . 7
6855, 66, 67sylanbrc 646 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
691ad3antrrr 711 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
704ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
7127, 49, 10rspcl 16285 . . . . . . . . 9 RSpan LIdeal
7270, 52, 71syl2anc 643 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
7327, 10rspssp 16289 . . . . . . . . 9 LIdeal RSpan
7470, 48, 47, 73syl3anc 1184 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
75 nn0re 10222 . . . . . . . . . . 11
7675adantl 453 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
77 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
7877adantr 452 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
7978nn0red 10267 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
80 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
81 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
8277adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
83 fznn0 11105 . . . . . . . . . . . . . . 15
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
8580, 81, 84mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
86 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
87 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
88 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8988fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RSpan RSpan
9089fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
91 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9290, 91fveq12d 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
9387, 92sseq12d 3369 . . . . . . . . . . . . . 14 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9493rspcva 3042 . . . . . . . . . . . . 13 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9585, 86, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9669adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
97 fvssunirn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897, 52syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
9927, 49, 10rspcl 16285 . . . . . . . . . . . . . . 15 RSpan LIdeal
10070, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
10272adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
10369, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
104103adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
10527, 49rspssid 16286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 RSpan
10670, 52, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
10897, 107syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
10927, 10rspssp 16289 . . . . . . . . . . . . . 14 RSpan LIdeal RSpan RSpan RSpan
110104, 102, 108, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan RSpan
1112, 10, 11, 96, 101, 102, 110, 80hbtlem3 27299 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
11295, 111sstrd 3350 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
113112anassrs 630 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
114 nn0z 10296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
116 nn0z 10296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
117116ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
118 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
119 eluz2 10486 . . . . . . . . . . . . . . 15
120115, 117, 118, 119syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . 14
12177, 120sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
122 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
123122ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeq
124 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
125124eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . 14 ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
126125rspcva 3042 . . . . . . . . . . . . 13 ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq
127121, 123, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeq
12877nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
129128leidd 9585 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
130112expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
131130ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
132 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ldgIdlSeq ldgIdlSeq
134 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
135133, 134sseq12d 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
136132, 135imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
137136rspcva 3042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
13877, 131, 137syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
139129, 138mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
140139adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
14169adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
14272adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan LIdeal
14377adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
144 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
145 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
1462, 10, 11, 141, 142, 143, 144, 145hbtlem4 27298 . . . . . . . . . . . . 13 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeqRSpan
147140, 146sstrd 3350 . . . . . . . . . . . 12 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
148127, 147eqsstrd 3374 . . . . . . . . . . 11 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
149148anassrs 630 . . . . . . . . . 10 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
15076, 79, 113, 149lecasei 9171 . . . . . . . . 9 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
151150ralrimiva 2781 . . . . . . . 8 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan
1522, 10, 11, 69, 72, 48, 74, 151hbtlem5 27300 . . . . . . 7 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
153152eqcomd 2440 . . . . . 6 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
154 fveq2 5720 . . . . . . . 8 RSpan RSpan
155154eqeq2d 2446 . . . . . . 7 RSpan RSpan
156155rspcev 3044 . . . . . 6 RSpan RSpan
15768, 153, 156syl2anc 643 . . . . 5 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeq ldgIdlSeqRSpan RSpan
15840, 157exlimddv 1648 . . . 4 LNoeR LIdeal ldgIdlSeq ldgIdlSeq RSpan
15925, 158rexlimddv 2826 . . 3 LNoeR LIdeal RSpan
160159ralrimiva 2781 . 2 LNoeR LIdeal RSpan
16149, 10, 27islnr2 27286 . 2 LNoeR LIdeal RSpan
1624, 160, 161sylanbrc 646 1 LNoeR LNoeR
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   cin 3311   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007  ciun 4085   class class class wbr 4204   crn 4871   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cle 9113  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cfz 11035  cbs 13461  crg 15652  LIdealclidl 16234  RSpancrsp 16235  Poly1cpl1 16563  NoeACScnacs 26747  LNoeRclnr 27281  ldgIdlSeqcldgis 27293 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ocomp 13542  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-preset 14377  df-drs 14378  df-poset 14395  df-ipo 14570  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-rsp 16239  df-rlreg 16335  df-ascl 16366  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-vr1 16569  df-ply1 16570  df-coe1 16573  df-cnfld 16696  df-mdeg 19970  df-deg1 19971  df-nacs 26748  df-lfig 27134  df-lnm 27142  df-lnr 27282  df-ldgis 27294
 Copyright terms: Public domain W3C validator