Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem2 Structured version   Unicode version

Theorem hbtlem2 27296
 Description: Leading coefficient ideals are ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p Poly1
hbtlem.u LIdeal
hbtlem.s ldgIdlSeq
hbtlem2.t LIdeal
Assertion
Ref Expression
hbtlem2

Proof of Theorem hbtlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem.p . . 3 Poly1
2 hbtlem.u . . 3 LIdeal
3 hbtlem.s . . 3 ldgIdlSeq
4 eqid 2435 . . 3 deg1 deg1
51, 2, 3, 4hbtlem1 27295 . 2 deg1 coe1
6 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
76, 2lidlss 16272 . . . . . . . . . . 11
873ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10
98sselda 3340 . . . . . . . . 9
10 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
11 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
1210, 6, 1, 11coe1f 16601 . . . . . . . . 9 coe1
139, 12syl 16 . . . . . . . 8 coe1
14 simpl3 962 . . . . . . . 8
1513, 14ffvelrnd 5863 . . . . . . 7 coe1
16 eleq1a 2504 . . . . . . 7 coe1 coe1
1715, 16syl 16 . . . . . 6 coe1
1817adantld 454 . . . . 5 deg1 coe1
1918rexlimdva 2822 . . . 4 deg1 coe1
2019abssdv 3409 . . 3 deg1 coe1
211ply1rng 16634 . . . . . . . 8
22213ad2ant1 978 . . . . . . 7
23 simp2 958 . . . . . . 7
24 eqid 2435 . . . . . . . 8
252, 24lidl0cl 16275 . . . . . . 7
2622, 23, 25syl2anc 643 . . . . . 6
274, 1, 24deg1z 20002 . . . . . . . 8 deg1
28273ad2ant1 978 . . . . . . 7 deg1
29 nn0ssre 10217 . . . . . . . . . 10
30 ressxr 9121 . . . . . . . . . 10
3129, 30sstri 3349 . . . . . . . . 9
32 simp3 959 . . . . . . . . 9
3331, 32sseldi 3338 . . . . . . . 8
34 mnfle 10721 . . . . . . . 8
3533, 34syl 16 . . . . . . 7
3628, 35eqbrtrd 4224 . . . . . 6 deg1
37 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
381, 24, 37coe1z 16648 . . . . . . . . 9 coe1
39383ad2ant1 978 . . . . . . . 8 coe1
4039fveq1d 5722 . . . . . . 7 coe1
41 fvex 5734 . . . . . . . . 9
4241fvconst2 5939 . . . . . . . 8
43423ad2ant3 980 . . . . . . 7
4440, 43eqtr2d 2468 . . . . . 6 coe1
45 fveq2 5720 . . . . . . . . 9 deg1 deg1
4645breq1d 4214 . . . . . . . 8 deg1 deg1
47 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
4847fveq1d 5722 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
4948eqeq2d 2446 . . . . . . . 8 coe1 coe1
5046, 49anbi12d 692 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1
5150rspcev 3044 . . . . . 6 deg1 coe1 deg1 coe1
5226, 36, 44, 51syl12anc 1182 . . . . 5 deg1 coe1
53 eqeq1 2441 . . . . . . . 8 coe1 coe1
5453anbi2d 685 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1
5554rexbidv 2718 . . . . . 6 deg1 coe1 deg1 coe1
5641, 55elab 3074 . . . . 5 deg1 coe1 deg1 coe1
5752, 56sylibr 204 . . . 4 deg1 coe1
58 ne0i 3626 . . . 4 deg1 coe1 deg1 coe1
5957, 58syl 16 . . 3 deg1 coe1
6022adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
61 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
62 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 algSc algSc
631, 62, 11, 6ply1sclf 16669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 algSc
64633ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 algSc
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1 algSc
66 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1
6765, 66ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 algSc
68 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1
70 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
712, 6, 70lidlmcl 16280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc algSc
7260, 61, 67, 69, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 algSc
73 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1
7473adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
75 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
762, 75lidlacl 16276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 algSc algSc
7760, 61, 72, 74, 76syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 deg1 deg1 algSc
78 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
798adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1
8079, 69sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1
816, 70rngcl 15669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc algSc
8260, 67, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 algSc
8379, 74sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
84 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1
8531, 84sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1
864, 1, 6deg1xrcl 19997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 algSc deg1 algSc
8782, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1 algSc
884, 1, 6deg1xrcl 19997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1
8980, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1
904, 1, 11, 6, 70, 62deg1mul3le 20031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 algSc deg1
9178, 66, 80, 90syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1 algSc deg1
92 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 deg1 deg1 deg1
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1
9487, 89, 85, 91, 93xrletrd 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 deg1 algSc
95 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 deg1
9695adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 deg1
971, 4, 78, 6, 75, 82, 83, 85, 94, 96deg1addle2 20017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 deg1 deg1 deg1 algSc
98 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
991, 6, 75, 98coe1addfv 16650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc coe1algSc coe1algSc coe1
10078, 82, 83, 84, 99syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 coe1algSc coe1algSc coe1
101 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1021, 6, 11, 62, 70, 101coe1sclmulfv 16667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 coe1algSc coe1
10378, 66, 80, 84, 102syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 deg1 deg1 coe1algSc coe1
104103oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 deg1 deg1 coe1algSc coe1 coe1 coe1
105100, 104eqtr2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 deg1 deg1 coe1 coe1 coe1algSc
106 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 algSc deg1 deg1 algSc
107106breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc deg1 deg1 algSc
108 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 algSc coe1 coe1algSc
109108fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 algSc coe1 coe1algSc
110109eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 algSc coe1 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1algSc
111107, 110anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 algSc deg1 coe1 coe1 coe1 deg1 algSc coe1 coe1 coe1algSc
112111rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 algSc deg1 algSc coe1 coe1 coe1algSc deg1 coe1 coe1 coe1
11377, 97, 105, 112syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 deg1 deg1 deg1 coe1 coe1 coe1
114 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1
115 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1
116115anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 coe1
117116rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 coe1
118114, 117elab 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 coe1
119113, 118sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
120119exp45 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
121120imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
122121exp5c 600 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
123122imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
124123imp41 577 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
125 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 coe1 coe1 coe1
126125eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1 deg1 coe1 coe1 coe1 deg1 coe1
127124, 126syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
128127expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
129128rexlimdva 2822 . . . . . . . . . . 11 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
130129alrimiv 1641 . . . . . . . . . 10 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
131 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1
132131anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 coe1 deg1 coe1
133132rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . 12 deg1 coe1 deg1 coe1
134 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg1 deg1
135134breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14 deg1 deg1
136 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1
137136fveq1d 5722 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 coe1
138137eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 coe1
139135, 138anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13 deg1 coe1 deg1 coe1
140139cbvrexv 2925 . . . . . . . . . . . 12 deg1 coe1 deg1 coe1
141133, 140syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11 deg1 coe1 deg1 coe1
142141ralab 3087 . . . . . . . . . 10 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
143130, 142sylibr 204 . . . . . . . . 9 deg1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
144 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12 coe1 coe1
145144oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
146145eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10 coe1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
147146ralbidv 2717 . . . . . . . . 9 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 coe1 deg1 coe1
148143, 147syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
149148expimpd 587 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
150149rexlimdva 2822 . . . . . 6 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
151150alrimiv 1641 . . . . 5 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
152 eqeq1 2441 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
153152anbi2d 685 . . . . . . . 8 deg1 coe1 deg1 coe1
154153rexbidv 2718 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1
155 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10 deg1 deg1
156155breq1d 4214 . . . . . . . . 9 deg1 deg1
157 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11 coe1 coe1
158157fveq1d 5722 . . . . . . . . . 10 coe1 coe1
159158eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9 coe1 coe1
160156, 159anbi12d 692 . . . . . . . 8 deg1 coe1 deg1 coe1
161160cbvrexv 2925 . . . . . . 7 deg1 coe1 deg1 coe1
162154, 161syl6bb 253 . . . . . 6 deg1 coe1 deg1 coe1
163162ralab 3087 . . . . 5 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
164151, 163sylibr 204 . . . 4 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
165164ralrimiva 2781 . . 3 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
166 hbtlem2.t . . . 4 LIdeal
167166, 11, 98, 101islidl 16274 . . 3 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1 deg1 coe1
16820, 59, 165, 167syl3anbrc 1138 . 2 deg1 coe1
1695, 168eqeltrd 2509 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  c0 3620  csn 3806   class class class wbr 4204   cxp 4868  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981   cmnf 9110  cxr 9111   cle 9113  cn0 10213  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  c0g 13715  crg 15652  LIdealclidl 16234  algSccascl 16363  Poly1cpl1 16563  coe1cco1 16566   deg1 cdg1 19969  ldgIdlSeqcldgis 27293 This theorem is referenced by:  hbtlem7  27297  hbtlem6  27301 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-ascl 16366  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-vr1 16569  df-ply1 16570  df-coe1 16573  df-cnfld 16696  df-mdeg 19970  df-deg1 19971  df-ldgis 27294
 Copyright terms: Public domain W3C validator