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Theorem hbtlem2 26998
Description: Leading coefficient ideals are ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem2.t  |-  T  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
hbtlem2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  T )

Proof of Theorem hbtlem2
Dummy variables  a 
b  c  d  e  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 hbtlem.u . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  P )
3 hbtlem.s . . 3  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
4 eqid 2388 . . 3  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
51, 2, 3, 4hbtlem1 26997 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  { a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
6 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
76, 2lidlss 16208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
873ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
98sselda 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  b  e.  ( Base `  P ) )
10 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  (coe1 `  b
)  =  (coe1 `  b
)
11 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
1210, 6, 1, 11coe1f 16537 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( Base `  P
)  ->  (coe1 `  b
) : NN0 --> ( Base `  R ) )
139, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  (coe1 `  b ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
14 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  X  e.  NN0 )
1513, 14ffvelrnd 5811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  ( (coe1 `  b ) `  X )  e.  (
Base `  R )
)
16 eleq1a 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( (coe1 `  b ) `  X )  e.  (
Base `  R )  ->  ( a  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  ( a  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1817adantld 454 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  b  e.  I )  ->  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  ->  a  e.  ( Base `  R
) ) )
1918rexlimdva 2774 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  -> 
a  e.  ( Base `  R ) ) )
2019abssdv 3361 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  C_  ( Base `  R )
)
211ply1rng 16570 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
22213ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  P  e.  Ring )
23 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  I  e.  U )
24 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
252, 24lidl0cl 16211 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
2622, 23, 25syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
274, 1, 24deg1z 19878 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( deg1  `  R ) `  ( 0g `  P ) )  =  -oo )
28273ad2ant1 978 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  ( 0g `  P ) )  =  -oo )
29 nn0ssre 10158 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  C_  RR
30 ressxr 9063 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR*
3129, 30sstri 3301 . . . . . . . . 9  |-  NN0  C_  RR*
32 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  X  e.  NN0 )
3331, 32sseldi 3290 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  X  e.  RR* )
34 mnfle 10662 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  RR*  ->  -oo  <_  X )
3533, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  -oo  <_  X )
3628, 35eqbrtrd 4174 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  ( 0g `  P ) )  <_  X )
37 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
381, 24, 37coe1z 16584 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  (coe1 `  ( 0g `  P ) )  =  ( NN0  X.  { ( 0g `  R ) } ) )
39383ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (coe1 `  ( 0g `  P ) )  =  ( NN0 
X.  { ( 0g
`  R ) } ) )
4039fveq1d 5671 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X )  =  ( ( NN0  X.  {
( 0g `  R
) } ) `  X ) )
41 fvex 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
4241fvconst2 5887 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( ( NN0  X.  { ( 0g `  R ) } ) `  X
)  =  ( 0g
`  R ) )
43423ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( NN0  X.  { ( 0g `  R ) } ) `  X
)  =  ( 0g
`  R ) )
4440, 43eqtr2d 2421 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) )
45 fveq2 5669 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( 0g `  P ) ) )
4645breq1d 4164 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  ( 0g `  P ) )  <_  X )
)
47 fveq2 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (coe1 `  b )  =  (coe1 `  ( 0g `  P
) ) )
4847fveq1d 5671 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
(coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) )
4948eqeq2d 2399 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) ) )
5046, 49anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( 0g `  P )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( 0g
`  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( 0g `  P ) )  <_  X  /\  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `
 X ) ) ) )
5150rspcev 2996 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  P
)  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  ( 0g `  P ) )  <_  X  /\  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  ( 0g `  P ) ) `  X ) ) )  ->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( 0g
`  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
5226, 36, 44, 51syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
53 eqeq1 2394 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( 0g `  R )  ->  (
a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  ( 0g `  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
5453anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( 0g `  R )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) ) )
5554rexbidv 2671 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( 0g `  R )  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( 0g `  R
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) ) )
5641, 55elab 3026 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  R )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( 0g
`  R )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
5752, 56sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  ( 0g `  R )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
58 ne0i 3578 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  ->  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  =/=  (/) )
5957, 58syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  =/=  (/) )
6022adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  P  e.  Ring )
61 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  I  e.  U
)
62 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
631, 62, 11, 6ply1sclf 16605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( R  e.  Ring  ->  (algSc `  P ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  P )
)
64633ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (algSc `  P ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  P )
)
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  (algSc `  P
) : ( Base `  R ) --> ( Base `  P ) )
66 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  c  e.  (
Base `  R )
)
6765, 66ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( (algSc `  P ) `  c
)  e.  ( Base `  P ) )
68 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
f  e.  I )
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  f  e.  I
)
70 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
712, 6, 70lidlmcl 16216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( (algSc `  P ) `  c
)  e.  ( Base `  P )  /\  f  e.  I ) )  -> 
( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  I )
7260, 61, 67, 69, 71syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  I )
73 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
g  e.  I )
7473adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  g  e.  I
)
75 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
762, 75lidlacl 16212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f )  e.  I  /\  g  e.  I )
)  ->  ( (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ( +g  `  P ) g )  e.  I
)
7760, 61, 72, 74, 76syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  e.  I )
78 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
798adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
8079, 69sseldd 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  f  e.  (
Base `  P )
)
816, 70rngcl 15605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  (
(algSc `  P ) `  c )  e.  (
Base `  P )  /\  f  e.  ( Base `  P ) )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  ( Base `  P
) )
8260, 67, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  ( Base `  P
) )
8379, 74sseldd 3293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  g  e.  (
Base `  P )
)
84 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  X  e.  NN0 )
8531, 84sseldi 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  X  e.  RR* )
864, 1, 6deg1xrcl 19873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f )  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) )  e.  RR* )
8782, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
(algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) )  e.  RR* )
884, 1, 6deg1xrcl 19873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  e.  RR* )
8980, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  f )  e.  RR* )
904, 1, 11, 6, 70, 62deg1mul3le 19907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  c  e.  ( Base `  R
)  /\  f  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) )  <_  ( ( deg1  `  R
) `  f )
)
9178, 66, 80, 90syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
(algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) )  <_  (
( deg1  `
 R ) `  f ) )
92 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)
9392adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  f )  <_  X )
9487, 89, 85, 91, 93xrletrd 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
(algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) )  <_  X
)
95 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( c  e.  ( Base `  R )  /\  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  ( g  e.  I  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
) ) )  -> 
( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
)
9695adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  g )  <_  X )
971, 4, 78, 6, 75, 82, 83, 85, 94, 96deg1addle2 19893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ( +g  `  P ) g ) )  <_  X )
98 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
991, 6, 75, 98coe1addfv 16586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f )  e.  ( Base `  P
)  /\  g  e.  ( Base `  P )
)  /\  X  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ) `
 X ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
10078, 82, 83, 84, 99syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  (
( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X )  =  ( ( (coe1 `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ) `
 X ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
101 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
1021, 6, 11, 62, 70, 101coe1sclmulfv 16603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
c  e.  ( Base `  R )  /\  f  e.  ( Base `  P
) )  /\  X  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ) `  X )  =  ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) )
10378, 66, 80, 84, 102syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ) `
 X )  =  ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) )
104103oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( (coe1 `  ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ) `  X ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) ) )
105100, 104eqtr2d 2421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) )
106 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( deg1  `  R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) )
107106breq1d 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R
) `  ( (
( (algSc `  P
) `  c )
( .r `  P
) f ) ( +g  `  P ) g ) )  <_  X ) )
108 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
(coe1 `  b )  =  (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) )
109108fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( (coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) )
110109eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) ) )
111107, 110anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( b  =  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  -> 
( ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) )  <_  X  /\  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) ) ) )
112111rspcev 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g )  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R ) `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c
) ( .r `  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) )  <_  X  /\  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  ( ( ( (algSc `  P ) `  c ) ( .r
`  P ) f ) ( +g  `  P
) g ) ) `
 X ) ) )  ->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
11377, 97, 105, 112syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
114 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  _V
115 eqeq1 2394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  ->  ( a  =  ( (coe1 `  b
) `  X )  <->  ( ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
116115anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  ->  ( (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
117116rexbidv 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  ->  ( E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
118114, 117elab 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
119113, 118sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  ( c  e.  (
Base `  R )  /\  ( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  /\  ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) ) ) )  ->  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  g
) `  X )
)  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } )
120119exp45 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
c  e.  ( Base `  R )  ->  (
( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  ->  ( (
g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
)  ->  ( (
c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) ) )
121120imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( f  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X )  ->  ( ( g  e.  I  /\  ( ( deg1  `  R ) `  g
)  <_  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) )
122121exp5c 600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( f  e.  I  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  f )  <_  X  ->  ( g  e.  I  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) ) ) )
123122imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  (
Base `  R )
)  /\  f  e.  I )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X  ->  ( g  e.  I  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  g )  <_  X  ->  ( (
c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) ) ) )
124123imp41 577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  f  e.  I )  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  g  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
)  ->  ( (
c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X
) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X
) )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
125 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( e  =  ( (coe1 `  g
) `  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  =  ( ( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
126125eleq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( e  =  ( (coe1 `  g
) `  X )  ->  ( ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <-> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  g ) `  X ) )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
127124, 126syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  /\  f  e.  I )  /\  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
)  /\  g  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X
)  ->  ( e  =  ( (coe1 `  g
) `  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
128127expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  /\  g  e.  I )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  g )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  g ) `  X ) )  -> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
129128rexlimdva 2774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  ( E. g  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) )  -> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
130129alrimiv 1638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  A. e
( E. g  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  g
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  g ) `  X
) )  ->  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
131 eqeq1 2394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  e  ->  (
a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
132131anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
133132rexbidv 2671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  e  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
134 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  g  ->  (
( deg1  `
 R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  g ) )
135134breq1d 4164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  g  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  g )  <_  X
) )
136 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  g  ->  (coe1 `  b )  =  (coe1 `  g ) )
137136fveq1d 5671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  g  ->  (
(coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  g ) `  X ) )
138137eqeq2d 2399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  g  ->  (
e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  e  =  ( (coe1 `  g ) `  X ) ) )
139135, 138anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  g  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) ) ) )
140139cbvrexv 2877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. g  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) ) )
141133, 140syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  e  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. g  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) ) ) )
142141ralab 3039 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  A. e ( E. g  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  g )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  g ) `  X ) )  -> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
143130, 142sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
144 oveq2 6029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( c ( .r
`  R ) d )  =  ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) )
145144oveq1d 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  =  ( ( c ( .r `  R
) ( (coe1 `  f
) `  X )
) ( +g  `  R
) e ) )
146145eleq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( ( ( c ( .r `  R
) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  <-> 
( ( c ( .r `  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
147146ralbidv 2670 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  ( A. e  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) ( (coe1 `  f ) `  X ) ) ( +g  `  R ) e )  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
148143, 147syl5ibrcom 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R
) )  /\  f  e.  I )  /\  (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X
)  ->  ( d  =  ( (coe1 `  f
) `  X )  ->  A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
149148expimpd 587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  (
Base `  R )
)  /\  f  e.  I )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  f )  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  f ) `  X ) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) d ) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
150149rexlimdva 2774 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( E. f  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  f
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  f ) `  X
) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
151150alrimiv 1638 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  ->  A. d ( E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) d ) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
152 eqeq1 2394 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  d  ->  (
a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
153152anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
154153rexbidv 2671 . . . . . . 7  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) ) )
155 fveq2 5669 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  f  ->  (
( deg1  `
 R ) `  b )  =  ( ( deg1  `  R ) `  f ) )
156155breq1d 4164 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  f  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  f )  <_  X
) )
157 fveq2 5669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  f  ->  (coe1 `  b )  =  (coe1 `  f ) )
158157fveq1d 5671 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  f  ->  (
(coe1 `  b ) `  X )  =  ( (coe1 `  f ) `  X ) )
159158eqeq2d 2399 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  f  ->  (
d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
)  <->  d  =  ( (coe1 `  f ) `  X ) ) )
160156, 159anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  f  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) ) ) )
161160cbvrexv 2877 . . . . . . 7  |-  ( E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) ) )
162154, 161syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  <->  E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) ) ) )
163162ralab 3039 . . . . 5  |-  ( A. d  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  <->  A. d ( E. f  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  f )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  f ) `  X ) )  ->  A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  (
( c ( .r
`  R ) d ) ( +g  `  R
) e )  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
164151, 163sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e.  NN0 )  /\  c  e.  ( Base `  R ) )  ->  A. d  e.  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } A. e  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
165164ralrimiva 2733 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  A. c  e.  ( Base `  R
) A. d  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
166 hbtlem2.t . . . 4  |-  T  =  (LIdeal `  R )
167166, 11, 98, 101islidl 16210 . . 3  |-  ( { a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  e.  T  <->  ( {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } 
C_  ( Base `  R
)  /\  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) }  =/=  (/)  /\  A. c  e.  ( Base `  R
) A. d  e. 
{ a  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } A. e  e.  {
a  |  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  a  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }  ( ( c ( .r `  R ) d ) ( +g  `  R ) e )  e.  { a  |  E. b  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } ) )
16820, 59, 165, 167syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  { a  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  a  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }  e.  T )
1695, 168eqeltrd 2462 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   (/)c0 3572   {csn 3758   class class class wbr 4154    X. cxp 4817   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   RRcr 8923    -oocmnf 9052   RR*cxr 9053    <_ cle 9055   NN0cn0 10154   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   .rcmulr 13458   0gc0g 13651   Ringcrg 15588  LIdealclidl 16170  algSccascl 16299  Poly1cpl1 16499  coe1cco1 16502   deg1 cdg1 19845  ldgIdlSeqcldgis 26995
This theorem is referenced by:  hbtlem7  26999  hbtlem6  27003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-subrg 15794  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-lidl 16174  df-ascl 16302  df-psr 16345  df-mvr 16346  df-mpl 16347  df-opsr 16353  df-psr1 16504  df-vr1 16505  df-ply1 16506  df-coe1 16509  df-cnfld 16628  df-mdeg 19846  df-deg1 19847  df-ldgis 26996
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