Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem5 Unicode version

Theorem hbtlem5 27332
Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem3.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
hbtlem3.i  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
hbtlem3.j  |-  ( ph  ->  J  e.  U )
hbtlem3.ij  |-  ( ph  ->  I  C_  J )
hbtlem5.e  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x ) )
Assertion
Ref Expression
hbtlem5  |-  ( ph  ->  I  =  J )
Distinct variable groups:    x, I    x, J    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    P( x)    R( x)    U( x)

Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2  |-  ( ph  ->  I  C_  J )
2 hbtlem3.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  U )
3 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
4 hbtlem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (LIdeal `  P )
53, 4lidlss 15961 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  U  ->  J  C_  ( Base `  P
) )
62, 5syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  C_  ( Base `  P ) )
76sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  a  e.  ( Base `  P
) )
8 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
9 hbtlem.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
108, 9, 3deg1cl 19469 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a
)  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } ) )
117, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
12 elun 3316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  <->  ( ( ( deg1  `  R ) `  a
)  e.  NN0  \/  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo } ) )
13 nnssnn0 9968 . . . . . . . . 9  |-  NN  C_  NN0
14 nn0re 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  RR )
15 arch 9962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  RR  ->  E. b  e.  NN  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  E. b  e.  NN  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
17 ssrexv 3238 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. b  e.  NN  (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
) )
1813, 16, 17mpsyl 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
19 elsni 3664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo }  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a
)  =  -oo )
20 0nn0 9980 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
21 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
22 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  <  0
24 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  0  ->  (  -oo  <  b  <->  -oo  <  0
) )
2524rspcev 2884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  -oo 
<  0 )  ->  E. b  e.  NN0  -oo 
<  b )
2620, 23, 25mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  E. b  e.  NN0  -oo  <  b
27 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  <->  -oo  <  b )
)
2827rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  ( E. b  e. 
NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  <->  E. b  e.  NN0  -oo 
<  b ) )
2926, 28mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
3019, 29syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo }  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3118, 30jaoi 368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  \/  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo } )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3212, 31sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3311, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
34 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  0  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0
) )
3534imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  0  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) )
3635ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  0  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) )
3736imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  0  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) ) )
38 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
) )
3938imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
4039ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
4140imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
42 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 ) ) )
4342imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
) ) )
4443ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
) ) )
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  =  ( ( deg1  `  R ) `  d ) )
4645breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 ) ) )
47 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  I  <->  d  e.  I ) )
4846, 47imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  ( b  +  1 )  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) )
4948cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
)  <->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) )
5044, 49syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. d  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) )
5150imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) ) )
52 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  R  e.  Ring )
54 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
558, 9, 54, 3deg1lt0 19477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  <->  a  =  ( 0g `  P ) ) )
5653, 7, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  <->  a  =  ( 0g `  P ) ) )
579ply1rng 16326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
5852, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
59 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
604, 54lidl0cl 15964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
6158, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  e.  I )
62 eleq1a 2352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0g `  P )  e.  I  ->  (
a  =  ( 0g
`  P )  -> 
a  e.  I ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( a  =  ( 0g `  P )  ->  a  e.  I
) )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
a  =  ( 0g
`  P )  -> 
a  e.  I ) )
6556, 64sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) )
6665ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) )
6763ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  J  C_  ( Base `  P
) )
6867sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  d  e.  ( Base `  P
) )
698, 9, 3deg1cl 19469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  d
)  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  d )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
71 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  b  e.  NN0 )
7271nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  b  e.  ZZ )
73 degltp1le 19459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  d )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
7470, 72, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
75 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x ) )
76 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  (
( S `  J
) `  x )  =  ( ( S `
 J ) `  b ) )
77 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  (
( S `  I
) `  x )  =  ( ( S `
 I ) `  b ) )
7876, 77sseq12d 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x )  <->  ( ( S `  J ) `  b )  C_  (
( S `  I
) `  b )
) )
7978rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
( S `  J
) `  x )  C_  ( ( S `  I ) `  x
) )  ->  (
( S `  J
) `  b )  C_  ( ( S `  I ) `  b
) )
8075, 79sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  J ) `  b )  C_  (
( S `  I
) `  b )
)
8152adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  R  e.  Ring )
822adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  J  e.  U )
83 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  b  e.  NN0 )
84 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
859, 4, 84, 8hbtlem1 27327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  J  e.  U  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( S `  J
) `  b )  =  { c  |  E. e  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8681, 82, 83, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  J ) `  b )  =  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8759adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  I  e.  U )
889, 4, 84, 8hbtlem1 27327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  b )  =  { c  |  E. e  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8981, 87, 83, 88syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  I ) `  b )  =  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
9080, 86, 893sstr3d 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } 
C_  { c  |  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } )
91903adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  { c  |  E. e  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } 
C_  { c  |  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) }  C_  { c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
93 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  d  e.  J )
94 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  d
)  <_  b )
95 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) )
96 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  =  d  ->  (
( deg1  `
 R ) `  e )  =  ( ( deg1  `  R ) `  d ) )
9796breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( e  =  d  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  <->  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
98 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( e  =  d  ->  (coe1 `  e )  =  (coe1 `  d ) )
9998fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  =  d  ->  (
(coe1 `  e ) `  b )  =  ( (coe1 `  d ) `  b ) )
10099eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( e  =  d  ->  (
( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b )  <->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) ) )
10197, 100anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  d ) `  b ) ) ) )
102101rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) ) )  ->  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
10393, 94, 95, 102syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) )
104 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (coe1 `  d ) `  b
)  e.  _V
105 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( c  =  ( (coe1 `  e ) `  b )  <->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
106105anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
107106rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
108104, 107elab 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  <->  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
109103, 108sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  e.  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) } )
110109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
(coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
11192, 110sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
(coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
112106rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( E. e  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
113104, 112elab 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  <->  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
114 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ph )
115114, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  P  e.  Ring )
116 rnggrp 15346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  P  e.  Grp )
118114, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  J  C_  ( Base `  P ) )
119 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  J
)
120118, 119sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  (
Base `  P )
)
1213, 4lidlss 15961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
12259, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
123114, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
124 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  I
)
125123, 124sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  (
Base `  P )
)
126 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
127 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
1283, 126, 127grpnpcan 14557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  d  e.  ( Base `  P )  /\  e  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( d ( -g `  P ) e ) ( +g  `  P
) e )  =  d )
129117, 120, 125, 128syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( d ( -g `  P
) e ) ( +g  `  P ) e )  =  d )
130593ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  I  e.  U )
131130ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  e.  U
)
132 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  b  e.  NN0 )
133114, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
134 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  d )  <_  b )
135 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b )
136 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (coe1 `  d
)  =  (coe1 `  d
)
137 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (coe1 `  e
)  =  (coe1 `  e
)
138 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  d
) `  b )  =  ( (coe1 `  e
) `  b )
)
1398, 9, 3, 127, 132, 133, 120, 134, 125, 135, 136, 137, 138deg1sublt 19496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( d
( -g `  P ) e ) )  < 
b )
140114, 2syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  J  e.  U
)
14113ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  I  C_  J )
142141ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  C_  J
)
143142, 124sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  J
)
1444, 127lidlsubcl 15968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  J  e.  U )  /\  ( d  e.  J  /\  e  e.  J ) )  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  J )
145115, 140, 119, 143, 144syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( d (
-g `  P )
e )  e.  J
)
146 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )
147 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) ) )
148147breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  <->  ( ( deg1  `  R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b ) )
149 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
a  e.  I  <->  ( d
( -g `  P ) e )  e.  I
) )
150148, 149imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  I ) ) )
151150rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( d ( -g `  P ) e )  e.  J  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  I ) )
152145, 146, 151syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  (
d ( -g `  P
) e ) )  <  b  ->  (
d ( -g `  P
) e )  e.  I ) )
153139, 152mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( d (
-g `  P )
e )  e.  I
)
1544, 126lidlacl 15965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( d ( -g `  P
) e )  e.  I  /\  e  e.  I ) )  -> 
( ( d (
-g `  P )
e ) ( +g  `  P ) e )  e.  I )
155115, 131, 153, 124, 154syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( d ( -g `  P
) e ) ( +g  `  P ) e )  e.  I
)
156129, 155eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  I
)
157156expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  e  e.  I )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  ->  d  e.  I ) )
158157rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  ( E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  ->  d  e.  I ) )
159113, 158syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  ->  d  e.  I
) )
160111, 159mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  d  e.  I )
161160expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b  ->  d  e.  I ) )
16274, 161sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) )
163162ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) )
1641633exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a
)  <  b  ->  a  e.  I )  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) ) ) )
165164a2d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  -> 
( ph  ->  A. d  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) ) )
16637, 41, 51, 41, 66, 165nn0ind 10108 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
167 rsp 2603 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I )  ->  ( a  e.  J  ->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
168166, 167syl6com 31 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( b  e.  NN0  ->  ( a  e.  J  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
169168com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  J  ->  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
170169imp 418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
b  e.  NN0  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
171170rexlimdv 2666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )
17233, 171mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  a  e.  I )
173172ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  J  ->  a  e.  I ) )
174173ssrdv 3185 . 2  |-  ( ph  ->  J  C_  I )
1751, 174eqssd 3196 1  |-  ( ph  ->  I  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    -oocmnf 8865    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Ringcrg 15337  LIdealclidl 15923  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255   deg1 cdg1 19440  ldgIdlSeqcldgis 27325
This theorem is referenced by:  hbt  27334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rlreg 16024  df-psr 16098  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442  df-ldgis 27326
  Copyright terms: Public domain W3C validator