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Theorem hbtlem5 27311
Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem3.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
hbtlem3.i  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
hbtlem3.j  |-  ( ph  ->  J  e.  U )
hbtlem3.ij  |-  ( ph  ->  I  C_  J )
hbtlem5.e  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x ) )
Assertion
Ref Expression
hbtlem5  |-  ( ph  ->  I  =  J )
Distinct variable groups:    x, I    x, J    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    P( x)    R( x)    U( x)

Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2  |-  ( ph  ->  I  C_  J )
2 hbtlem3.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  U )
3 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
4 hbtlem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (LIdeal `  P )
53, 4lidlss 16282 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  U  ->  J  C_  ( Base `  P
) )
62, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  C_  ( Base `  P ) )
76sselda 3350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  a  e.  ( Base `  P
) )
8 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
9 hbtlem.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
108, 9, 3deg1cl 20008 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a
)  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } ) )
117, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
12 elun 3490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  <->  ( ( ( deg1  `  R ) `  a
)  e.  NN0  \/  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo } ) )
13 nnssnn0 10226 . . . . . . . . 9  |-  NN  C_  NN0
14 nn0re 10232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  RR )
15 arch 10220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  RR  ->  E. b  e.  NN  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  E. b  e.  NN  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
17 ssrexv 3410 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. b  e.  NN  (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
) )
1813, 16, 17mpsyl 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
19 elsni 3840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo }  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a
)  =  -oo )
20 0nn0 10238 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
21 0re 9093 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
22 mnflt 10724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  <  0
24 breq2 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  0  ->  (  -oo  <  b  <->  -oo  <  0
) )
2524rspcev 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  -oo 
<  0 )  ->  E. b  e.  NN0  -oo 
<  b )
2620, 23, 25mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  E. b  e.  NN0  -oo  <  b
27 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  <->  -oo  <  b )
)
2827rexbidv 2728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  ( E. b  e. 
NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  <->  E. b  e.  NN0  -oo 
<  b ) )
2926, 28mpbiri 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
3019, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo }  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3118, 30jaoi 370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  \/  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo } )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3212, 31sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3311, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
34 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  0  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0
) )
3534imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  0  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) )
3635ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  0  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) )
3736imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  0  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) ) )
38 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
) )
3938imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
4039ralbidv 2727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
4140imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
42 breq2 4218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 ) ) )
4342imbi1d 310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
) ) )
4443ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
) ) )
45 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  =  ( ( deg1  `  R ) `  d ) )
4645breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 ) ) )
47 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  I  <->  d  e.  I ) )
4846, 47imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  ( b  +  1 )  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) )
4948cbvralv 2934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
)  <->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) )
5044, 49syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. d  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) )
5150imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) ) )
52 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5352adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  R  e.  Ring )
54 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
558, 9, 54, 3deg1lt0 20016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  <->  a  =  ( 0g `  P ) ) )
5653, 7, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  <->  a  =  ( 0g `  P ) ) )
579ply1rng 16644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
5852, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
59 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
604, 54lidl0cl 16285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
6158, 59, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  e.  I )
62 eleq1a 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0g `  P )  e.  I  ->  (
a  =  ( 0g
`  P )  -> 
a  e.  I ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( a  =  ( 0g `  P )  ->  a  e.  I
) )
6463adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
a  =  ( 0g
`  P )  -> 
a  e.  I ) )
6556, 64sylbid 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) )
6665ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) )
6763ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  J  C_  ( Base `  P
) )
6867sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  d  e.  ( Base `  P
) )
698, 9, 3deg1cl 20008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  d
)  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  d )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
71 simpl1 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  b  e.  NN0 )
7271nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  b  e.  ZZ )
73 degltp1le 19998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  d )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
7470, 72, 73syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
75 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x ) )
76 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  (
( S `  J
) `  x )  =  ( ( S `
 J ) `  b ) )
77 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  (
( S `  I
) `  x )  =  ( ( S `
 I ) `  b ) )
7876, 77sseq12d 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x )  <->  ( ( S `  J ) `  b )  C_  (
( S `  I
) `  b )
) )
7978rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
( S `  J
) `  x )  C_  ( ( S `  I ) `  x
) )  ->  (
( S `  J
) `  b )  C_  ( ( S `  I ) `  b
) )
8075, 79sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  J ) `  b )  C_  (
( S `  I
) `  b )
)
8152adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  R  e.  Ring )
822adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  J  e.  U )
83 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  b  e.  NN0 )
84 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
859, 4, 84, 8hbtlem1 27306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  J  e.  U  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( S `  J
) `  b )  =  { c  |  E. e  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8681, 82, 83, 85syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  J ) `  b )  =  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8759adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  I  e.  U )
889, 4, 84, 8hbtlem1 27306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  b )  =  { c  |  E. e  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8981, 87, 83, 88syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  I ) `  b )  =  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
9080, 86, 893sstr3d 3392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } 
C_  { c  |  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } )
91903adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  { c  |  E. e  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } 
C_  { c  |  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } )
9291adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) }  C_  { c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
93 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  d  e.  J )
94 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  d
)  <_  b )
95 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) )
96 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  =  d  ->  (
( deg1  `
 R ) `  e )  =  ( ( deg1  `  R ) `  d ) )
9796breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( e  =  d  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  <->  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
98 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( e  =  d  ->  (coe1 `  e )  =  (coe1 `  d ) )
9998fveq1d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  =  d  ->  (
(coe1 `  e ) `  b )  =  ( (coe1 `  d ) `  b ) )
10099eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( e  =  d  ->  (
( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b )  <->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) ) )
10197, 100anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  d ) `  b ) ) ) )
102101rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) ) )  ->  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
10393, 94, 95, 102syl12anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) )
104 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (coe1 `  d ) `  b
)  e.  _V
105 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( c  =  ( (coe1 `  e ) `  b )  <->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
106105anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
107106rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
108104, 107elab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  <->  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
109103, 108sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  e.  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) } )
110109adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
(coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
11192, 110sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
(coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
112106rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( E. e  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
113104, 112elab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  <->  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
114 simpll2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ph )
115114, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  P  e.  Ring )
116 rnggrp 15671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  P  e.  Grp )
118114, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  J  C_  ( Base `  P ) )
119 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  J
)
120118, 119sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  (
Base `  P )
)
1213, 4lidlss 16282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
12259, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
123114, 122syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
124 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  I
)
125123, 124sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  (
Base `  P )
)
126 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
127 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
1283, 126, 127grpnpcan 14882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  d  e.  ( Base `  P )  /\  e  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( d ( -g `  P ) e ) ( +g  `  P
) e )  =  d )
129117, 120, 125, 128syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( d ( -g `  P
) e ) ( +g  `  P ) e )  =  d )
130593ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  I  e.  U )
131130ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  e.  U
)
132 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  b  e.  NN0 )
133114, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
134 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  d )  <_  b )
135 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b )
136 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (coe1 `  d
)  =  (coe1 `  d
)
137 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (coe1 `  e
)  =  (coe1 `  e
)
138 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  d
) `  b )  =  ( (coe1 `  e
) `  b )
)
1398, 9, 3, 127, 132, 133, 120, 134, 125, 135, 136, 137, 138deg1sublt 20035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( d
( -g `  P ) e ) )  < 
b )
140114, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  J  e.  U
)
14113ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  I  C_  J )
142141ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  C_  J
)
143142, 124sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  J
)
1444, 127lidlsubcl 16289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  J  e.  U )  /\  ( d  e.  J  /\  e  e.  J ) )  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  J )
145115, 140, 119, 143, 144syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( d (
-g `  P )
e )  e.  J
)
146 simpll3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )
147 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) ) )
148147breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  <->  ( ( deg1  `  R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b ) )
149 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
a  e.  I  <->  ( d
( -g `  P ) e )  e.  I
) )
150148, 149imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  I ) ) )
151150rspcva 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( d ( -g `  P ) e )  e.  J  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  I ) )
152145, 146, 151syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  (
d ( -g `  P
) e ) )  <  b  ->  (
d ( -g `  P
) e )  e.  I ) )
153139, 152mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( d (
-g `  P )
e )  e.  I
)
1544, 126lidlacl 16286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( d ( -g `  P
) e )  e.  I  /\  e  e.  I ) )  -> 
( ( d (
-g `  P )
e ) ( +g  `  P ) e )  e.  I )
155115, 131, 153, 124, 154syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( d ( -g `  P
) e ) ( +g  `  P ) e )  e.  I
)
156129, 155eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  I
)
157156rexlimdvaa 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  ( E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  ->  d  e.  I ) )
158113, 157syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  ->  d  e.  I
) )
159111, 158mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  d  e.  I )
160159expr 600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b  ->  d  e.  I ) )
16174, 160sylbid 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) )
162161ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) )
1631623exp 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a
)  <  b  ->  a  e.  I )  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) ) ) )
164163a2d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  -> 
( ph  ->  A. d  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) ) )
16537, 41, 51, 41, 66, 164nn0ind 10368 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
166 rsp 2768 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I )  ->  ( a  e.  J  ->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
167165, 166syl6com 34 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( b  e.  NN0  ->  ( a  e.  J  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
168167com23 75 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  J  ->  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
169168imp 420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
b  e.  NN0  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
170169rexlimdv 2831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )
17133, 170mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  a  e.  I )
172171ex 425 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  J  ->  a  e.  I ) )
173172ssrdv 3356 . 2  |-  ( ph  ->  J  C_  I )
1741, 173eqssd 3367 1  |-  ( ph  ->  I  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    -oocmnf 9120    < clt 9122    <_ cle 9123   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   Grpcgrp 14687   -gcsg 14690   Ringcrg 15662  LIdealclidl 16244  Poly1cpl1 16573  coe1cco1 16576   deg1 cdg1 19979  ldgIdlSeqcldgis 27304
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rlreg 16345  df-psr 16419  df-mpl 16421  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-ply1 16580  df-coe1 16583  df-cnfld 16706  df-mdeg 19980  df-deg1 19981  df-ldgis 27305
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