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Theorem hbtlem5 27435
Description: The leading ideal function is strictly monotone. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem3.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
hbtlem3.i  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
hbtlem3.j  |-  ( ph  ->  J  e.  U )
hbtlem3.ij  |-  ( ph  ->  I  C_  J )
hbtlem5.e  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x ) )
Assertion
Ref Expression
hbtlem5  |-  ( ph  ->  I  =  J )
Distinct variable groups:    x, I    x, J    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    P( x)    R( x)    U( x)

Proof of Theorem hbtlem5
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem3.ij . 2  |-  ( ph  ->  I  C_  J )
2 hbtlem3.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  U )
3 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
4 hbtlem.u . . . . . . . . . 10  |-  U  =  (LIdeal `  P )
53, 4lidlss 15977 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  U  ->  J  C_  ( Base `  P
) )
62, 5syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  C_  ( Base `  P ) )
76sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  a  e.  ( Base `  P
) )
8 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
9 hbtlem.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
108, 9, 3deg1cl 19485 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a
)  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } ) )
117, 10syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
12 elun 3329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  <->  ( ( ( deg1  `  R ) `  a
)  e.  NN0  \/  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo } ) )
13 nnssnn0 9984 . . . . . . . . 9  |-  NN  C_  NN0
14 nn0re 9990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  RR )
15 arch 9978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  RR  ->  E. b  e.  NN  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  E. b  e.  NN  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
17 ssrexv 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. b  e.  NN  (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
) )
1813, 16, 17mpsyl 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
19 elsni 3677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo }  ->  ( ( deg1  `  R ) `  a
)  =  -oo )
20 0nn0 9996 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
21 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
22 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  <  0
24 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  0  ->  (  -oo  <  b  <->  -oo  <  0
) )
2524rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  -oo 
<  0 )  ->  E. b  e.  NN0  -oo 
<  b )
2620, 23, 25mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  E. b  e.  NN0  -oo  <  b
27 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  <->  -oo  <  b )
)
2827rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  ( E. b  e. 
NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  <->  E. b  e.  NN0  -oo 
<  b ) )
2926, 28mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  =  -oo  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
)
3019, 29syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo }  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3118, 30jaoi 368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  NN0  \/  ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  {  -oo } )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3212, 31sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
3311, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b )
34 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  0  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0
) )
3534imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  0  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) )
3635ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  0  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) )
3736imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  0  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) ) ) )
38 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b
) )
3938imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
4039ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  b  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
4140imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  b  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
42 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  c  <->  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 ) ) )
4342imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
) ) )
4443ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
) ) )
45 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  d  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  =  ( ( deg1  `  R ) `  d ) )
4645breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 ) ) )
47 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  I  <->  d  e.  I ) )
4846, 47imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  ( b  +  1 )  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) )
4948cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  (
b  +  1 )  ->  a  e.  I
)  <->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) )
5044, 49syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  c  ->  a  e.  I )  <->  A. d  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) )
5150imbi2d 307 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  c  ->  a  e.  I ) )  <->  ( ph  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) ) )
52 hbtlem3.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  R  e.  Ring )
54 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
558, 9, 54, 3deg1lt0 19493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  a  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  <->  a  =  ( 0g `  P ) ) )
5653, 7, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  <->  a  =  ( 0g `  P ) ) )
579ply1rng 16342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
5852, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
59 hbtlem3.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
604, 54lidl0cl 15980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( 0g `  P )  e.  I )
6158, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0g `  P
)  e.  I )
62 eleq1a 2365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0g `  P )  e.  I  ->  (
a  =  ( 0g
`  P )  -> 
a  e.  I ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( a  =  ( 0g `  P )  ->  a  e.  I
) )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
a  =  ( 0g
`  P )  -> 
a  e.  I ) )
6556, 64sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) )
6665ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  0  ->  a  e.  I ) )
6763ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  J  C_  ( Base `  P
) )
6867sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  d  e.  ( Base `  P
) )
698, 9, 3deg1cl 19485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  ( Base `  P
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  d
)  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  d )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
71 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  b  e.  NN0 )
7271nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  b  e.  ZZ )
73 degltp1le 19475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  d )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
7470, 72, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  <-> 
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
75 hbtlem5.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x ) )
76 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  (
( S `  J
) `  x )  =  ( ( S `
 J ) `  b ) )
77 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  b  ->  (
( S `  I
) `  x )  =  ( ( S `
 I ) `  b ) )
7876, 77sseq12d 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  b  ->  (
( ( S `  J ) `  x
)  C_  ( ( S `  I ) `  x )  <->  ( ( S `  J ) `  b )  C_  (
( S `  I
) `  b )
) )
7978rspcva 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
( S `  J
) `  x )  C_  ( ( S `  I ) `  x
) )  ->  (
( S `  J
) `  b )  C_  ( ( S `  I ) `  b
) )
8075, 79sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  J ) `  b )  C_  (
( S `  I
) `  b )
)
8152adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  R  e.  Ring )
822adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  J  e.  U )
83 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  b  e.  NN0 )
84 hbtlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
859, 4, 84, 8hbtlem1 27430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  J  e.  U  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( S `  J
) `  b )  =  { c  |  E. e  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8681, 82, 83, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  J ) `  b )  =  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8759adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  I  e.  U )
889, 4, 84, 8hbtlem1 27430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  b )  =  { c  |  E. e  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
8981, 87, 83, 88syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( S `  I ) `  b )  =  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
9080, 86, 893sstr3d 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph )  ->  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } 
C_  { c  |  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } )
91903adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  { c  |  E. e  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } 
C_  { c  |  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) } )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) }  C_  { c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
93 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  d  e.  J )
94 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( ( deg1  `  R ) `  d
)  <_  b )
95 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) )
96 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  =  d  ->  (
( deg1  `
 R ) `  e )  =  ( ( deg1  `  R ) `  d ) )
9796breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( e  =  d  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  e )  <_  b  <->  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
) )
98 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( e  =  d  ->  (coe1 `  e )  =  (coe1 `  d ) )
9998fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( e  =  d  ->  (
(coe1 `  e ) `  b )  =  ( (coe1 `  d ) `  b ) )
10099eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( e  =  d  ->  (
( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b )  <->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) ) )
10197, 100anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  d  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  d ) `  b ) ) ) )
102101rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  d ) `  b
) ) )  ->  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
10393, 94, 95, 102syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) )
104 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (coe1 `  d ) `  b
)  e.  _V
105 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( c  =  ( (coe1 `  e ) `  b )  <->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
106105anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
107106rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
108104, 107elab 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  <->  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
109103, 108sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( d  e.  J  /\  ( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b
)  ->  ( (coe1 `  d ) `  b
)  e.  { c  |  E. e  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) } )
110109adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
(coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
11192, 110sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
(coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) } )
112106rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  =  ( (coe1 `  d
) `  b )  ->  ( E. e  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  e
)  <_  b  /\  c  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  <->  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b )  =  ( (coe1 `  e ) `  b ) ) ) )
113104, 112elab 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  <->  E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) )
114 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ph )
115114, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  P  e.  Ring )
116 rnggrp 15362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  P  e.  Grp )
118114, 6syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  J  C_  ( Base `  P ) )
119 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  J
)
120118, 119sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  (
Base `  P )
)
1213, 4lidlss 15977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
12259, 121syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
123114, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
124 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  I
)
125123, 124sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  (
Base `  P )
)
126 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
127 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
1283, 126, 127grpnpcan 14573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  d  e.  ( Base `  P )  /\  e  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( d ( -g `  P ) e ) ( +g  `  P
) e )  =  d )
129117, 120, 125, 128syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( d ( -g `  P
) e ) ( +g  `  P ) e )  =  d )
130593ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  I  e.  U )
131130ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  e.  U
)
132 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  b  e.  NN0 )
133114, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
134 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  d )  <_  b )
135 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b )
136 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (coe1 `  d
)  =  (coe1 `  d
)
137 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (coe1 `  e
)  =  (coe1 `  e
)
138 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( (coe1 `  d
) `  b )  =  ( (coe1 `  e
) `  b )
)
1398, 9, 3, 127, 132, 133, 120, 134, 125, 135, 136, 137, 138deg1sublt 19512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( deg1  `  R
) `  ( d
( -g `  P ) e ) )  < 
b )
140114, 2syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  J  e.  U
)
14113ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  I  C_  J )
142141ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  I  C_  J
)
143142, 124sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  e  e.  J
)
1444, 127lidlsubcl 15984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  J  e.  U )  /\  ( d  e.  J  /\  e  e.  J ) )  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  J )
145115, 140, 119, 143, 144syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( d (
-g `  P )
e )  e.  J
)
146 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )
147 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( deg1  `
 R ) `  a )  =  ( ( deg1  `  R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) ) )
148147breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  <->  ( ( deg1  `  R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b ) )
149 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
a  e.  I  <->  ( d
( -g `  P ) e )  e.  I
) )
150148, 149imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( a  =  ( d (
-g `  P )
e )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  I ) ) )
151150rspcva 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( d ( -g `  P ) e )  e.  J  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  ( (
( deg1  `
 R ) `  ( d ( -g `  P ) e ) )  <  b  -> 
( d ( -g `  P ) e )  e.  I ) )
152145, 146, 151syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  (
d ( -g `  P
) e ) )  <  b  ->  (
d ( -g `  P
) e )  e.  I ) )
153139, 152mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( d (
-g `  P )
e )  e.  I
)
1544, 126lidlacl 15981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  ( ( d ( -g `  P
) e )  e.  I  /\  e  e.  I ) )  -> 
( ( d (
-g `  P )
e ) ( +g  `  P ) e )  e.  I )
155115, 131, 153, 124, 154syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  ( ( d ( -g `  P
) e ) ( +g  `  P ) e )  e.  I
)
156129, 155eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  (
e  e.  I  /\  ( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) ) ) )  ->  d  e.  I
)
157156expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e. 
NN0  /\  ph  /\  A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  /\  e  e.  I )  ->  (
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  ->  d  e.  I ) )
158157rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  ( E. e  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  e )  <_  b  /\  ( (coe1 `  d ) `  b
)  =  ( (coe1 `  e ) `  b
) )  ->  d  e.  I ) )
159113, 158syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  (
( (coe1 `  d ) `  b )  e.  {
c  |  E. e  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  e )  <_  b  /\  c  =  (
(coe1 `  e ) `  b ) ) }  ->  d  e.  I
) )
160111, 159mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  ( d  e.  J  /\  (
( deg1  `
 R ) `  d )  <_  b
) )  ->  d  e.  I )
161160expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <_  b  ->  d  e.  I ) )
16274, 161sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  NN0  /\ 
ph  /\  A. a  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  /\  d  e.  J )  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) )
163162ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ph 
/\  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) )
1641633exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R ) `  a
)  <  b  ->  a  e.  I )  ->  A. d  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  d )  <  ( b  +  1 )  ->  d  e.  I ) ) ) )
165164a2d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )  -> 
( ph  ->  A. d  e.  J  ( (
( deg1  `
 R ) `  d )  <  (
b  +  1 )  ->  d  e.  I
) ) ) )
16637, 41, 51, 41, 66, 165nn0ind 10124 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. a  e.  J  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
167 rsp 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  J  (
( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I )  ->  ( a  e.  J  ->  ( (
( deg1  `
 R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
168166, 167syl6com 31 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( b  e.  NN0  ->  ( a  e.  J  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
169168com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  J  ->  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( deg1  `  R
) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) ) )
170169imp 418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  (
b  e.  NN0  ->  ( ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) ) )
171170rexlimdv 2679 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  ( E. b  e.  NN0  ( ( deg1  `  R ) `  a )  <  b  ->  a  e.  I ) )
17233, 171mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  J )  ->  a  e.  I )
173172ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  J  ->  a  e.  I ) )
174173ssrdv 3198 . 2  |-  ( ph  ->  J  C_  I )
1751, 174eqssd 3209 1  |-  ( ph  ->  I  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    -oocmnf 8881    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   Ringcrg 15353  LIdealclidl 15939  Poly1cpl1 16268  coe1cco1 16271   deg1 cdg1 19456  ldgIdlSeqcldgis 27428
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rlreg 16040  df-psr 16114  df-mpl 16116  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-ply1 16275  df-coe1 16278  df-cnfld 16394  df-mdeg 19457  df-deg1 19458  df-ldgis 27429
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