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Theorem hbtlem6 27312
Description: There is a finite set of polynomials matching any single stage of the image. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem6.n  |-  N  =  (RSpan `  P )
hbtlem6.r  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
hbtlem6.i  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
hbtlem6.x  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
hbtlem6  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Distinct variable groups:    ph, k    k, I    R, k    S, k   
k, X
Allowed substitution hints:    P( k)    U( k)    N( k)

Proof of Theorem hbtlem6
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hbtlem6.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e. LNoeR )
2 lnrrng 27295 . . . . 5  |-  ( R  e. LNoeR  ->  R  e.  Ring )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 hbtlem6.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  U )
5 hbtlem6.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
6 hbtlem.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
7 hbtlem.u . . . . 5  |-  U  =  (LIdeal `  P )
8 hbtlem.s . . . . 5  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
9 eqid 2438 . . . . 5  |-  (LIdeal `  R )  =  (LIdeal `  R )
106, 7, 8, 9hbtlem2 27307 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
113, 4, 5, 10syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  e.  (LIdeal `  R ) )
12 eqid 2438 . . . 4  |-  (RSpan `  R )  =  (RSpan `  R )
139, 12lnr2i 27299 . . 3  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  (
( S `  I
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )
)
141, 11, 13syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
15 elfpw 7410 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P (
( S `  I
) `  X )  i^i  Fin )  <->  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )
16 fvex 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( (coe1 `  b ) `  X
)  e.  _V
17 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
1816, 17fnmpti 5575 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  Fn 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )
20 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_  ( ( S `  I ) `  X
) )
21 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
226, 7, 8, 21hbtlem1 27306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. LNoeR  /\  I  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
231, 4, 5, 22syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) } )
2417rnmpt 5118 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
25 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
( deg1  `
 R ) `  c )  =  ( ( deg1  `  R ) `  b ) )
2625breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X  <->  ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X
) )
2726rexrab 3100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) )
2827abbii 2550 . . . . . . . . . . 11  |-  { d  |  E. b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } d  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { d  |  E. b  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  d  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
2924, 28eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { d  |  E. b  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  d  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
3023, 29syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S `  I ) `  X
)  =  ran  (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
3130adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( S `  I
) `  X )  =  ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
3220, 31sseqtrd 3386 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  C_ 
ran  ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
33 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  a  e.  Fin )
34 fipreima 7414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  Fn  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  /\  a  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  /\  a  e.  Fin )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
3519, 32, 33, 34syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )
36 elfpw 7410 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ~P {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  <->  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )
37 ssrab2 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  C_  I
38 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  C_  I  ->  k  C_  I ) )
3937, 38mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  k  C_  I )
4039adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  C_  I )
41 vex 2961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
4241elpw 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ~P I  <->  k  C_  I )
4340, 42sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } )  ->  k  e.  ~P I )
4443adantrr 699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ~P I
)
45 simprr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  Fin )
46 elin 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  <->  ( k  e.  ~P I  /\  k  e.  Fin ) )
4744, 45, 46sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
)
483adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  R  e.  Ring )
496ply1rng 16644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
503, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
5150adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  P  e.  Ring )
52 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  I  |  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X } )
5352, 37syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  I )
54 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
5554, 7lidlss 16282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I  e.  U  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
564, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  C_  ( Base `  P ) )
5756adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  I  C_  ( Base `  P
) )
5853, 57sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( Base `  P ) )
59 hbtlem6.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  N  =  (RSpan `  P )
6059, 54, 7rspcl 16295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  ( N `  k )  e.  U )
6151, 58, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( N `  k
)  e.  U )
625adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  X  e.  NN0 )
636, 7, 8, 9hbtlem2 27307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )
)
6448, 61, 62, 63syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  e.  (LIdeal `  R
) )
65 df-ima 4893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )
6659, 54rspssid 16296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  k  C_  ( Base `  P
) )  ->  k  C_  ( N `  k
) )
6751, 58, 66syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  ( N `  k ) )
68 ssrab 3423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  I  /\  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
) )
6968simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  A. c  e.  k  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
7069ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  A. c  e.  k 
( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X
)
71 ssrab 3423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k 
C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  <->  ( k  C_  ( N `  k )  /\  A. c  e.  k  (
( deg1  `
 R ) `  c )  <_  X
) )
7267, 70, 71sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
k  C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }
)
73 resmpt 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
75 resmpt 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  ->  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7675ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( b  e.  k  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
7774, 76eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  =  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k ) )
78 resss 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
7977, 78syl6eqssr 3401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
80 rnss 5100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  ->  ran  ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  |`  k )  C_  ran  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  ->  ran  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) )  |`  k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
8265, 81syl5eqss 3394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
836, 7, 8, 21hbtlem1 27306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  k )  e.  U  /\  X  e. 
NN0 )  ->  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) } )
8448, 61, 62, 83syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R
) `  b )  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) } )
85 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) )  =  ( b  e.  {
c  e.  ( N `
 k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)
8685rnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }
8726rexrab 3100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X )  <->  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) )
8887abbii 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { e  |  E. b  e. 
{ c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X } e  =  ( (coe1 `  b ) `  X ) }  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k ) ( ( ( deg1  `  R ) `  b )  <_  X  /\  e  =  (
(coe1 `  b ) `  X ) ) }
8986, 88eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
b  e.  { c  e.  ( N `  k )  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
)  =  { e  |  E. b  e.  ( N `  k
) ( ( ( deg1  `  R ) `  b
)  <_  X  /\  e  =  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) }
9084, 89syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  =  ran  ( b  e.  { c  e.  ( N `  k
)  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) )
9182, 90sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9212, 9rspssp 16299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )  e.  (LIdeal `  R )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9348, 64, 91, 92syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
9447, 93jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
95 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
(RSpan `  R ) `  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
) )  =  ( (RSpan `  R ) `  a ) )
9695sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( (RSpan `  R
) `  ( (
b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
9796anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a  ->  (
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k ) )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )  <->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9894, 97syl5ibcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  C_ 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  /\  k  e.  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
9936, 98sylan2b 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin ) )  -> 
( ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
10099expimpd 588 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  i^i  Fin )  /\  ( ( b  e. 
{ c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X
) ) " k
)  =  a )  ->  ( k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin )  /\  (
(RSpan `  R ) `  a )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) ) )
101100adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  (
( k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  i^i  Fin )  /\  (
( b  e.  {
c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c )  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b
) `  X )
) " k )  =  a )  -> 
( k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )  /\  ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) ) )
102101reximdv2 2817 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  ( E. k  e.  ( ~P { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R
) `  c )  <_  X }  i^i  Fin ) ( ( b  e.  { c  e.  I  |  ( ( deg1  `  R ) `  c
)  <_  X }  |->  ( (coe1 `  b ) `  X ) ) "
k )  =  a  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
10335, 102mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  ( ( S `  I ) `  X
)  /\  a  e.  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
10415, 103sylan2b 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( (RSpan `  R ) `  a
)  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) )
105 sseq1 3371 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( (
( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <-> 
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
106105rexbidv 2728 . . . 4  |-  ( ( ( S `  I
) `  X )  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  ( E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `  I
) `  X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X )  <->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin )
( (RSpan `  R
) `  a )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
107104, 106syl5ibrcom 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ~P ( ( S `
 I ) `  X )  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( S `  I ) `  X
)  =  ( (RSpan `  R ) `  a
)  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  C_  ( ( S `  ( N `  k ) ) `  X ) ) )
108107rexlimdva 2832 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( ~P ( ( S `  I ) `
 X )  i^i 
Fin ) ( ( S `  I ) `
 X )  =  ( (RSpan `  R
) `  a )  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
) )
10914, 108mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( ~P I  i^i  Fin ) ( ( S `
 I ) `  X )  C_  (
( S `  ( N `  k )
) `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ran crn 4881    |` cres 4882   "cima 4883    Fn wfn 5451   ` cfv 5456   Fincfn 7111    <_ cle 9123   NN0cn0 10223   Basecbs 13471   Ringcrg 15662  LIdealclidl 16244  RSpancrsp 16245  Poly1cpl1 16573  coe1cco1 16576   deg1 cdg1 19979  LNoeRclnr 27292  ldgIdlSeqcldgis 27304
This theorem is referenced by:  hbt  27313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249  df-ascl 16376  df-psr 16419  df-mvr 16420  df-mpl 16421  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-vr1 16579  df-ply1 16580  df-coe1 16583  df-cnfld 16706  df-mdeg 19980  df-deg1 19981  df-lfig 27145  df-lnm 27153  df-lnr 27293  df-ldgis 27305
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