Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hbtlem7 Unicode version

Theorem hbtlem7 27329
Description: Functionality of leading coefficient ideal sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hbtlem.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
hbtlem.u  |-  U  =  (LIdeal `  P )
hbtlem.s  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
hbtlem7.t  |-  T  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
hbtlem7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I ) : NN0 --> T )

Proof of Theorem hbtlem7
Dummy variables  i 
j  x  y  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) )  -> 
y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) )
21reximi 2650 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) )  ->  E. j  e.  I 
y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) )
32ss2abi 3245 . . . . . . 7  |-  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  C_  { y  |  E. j  e.  I  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) }
4 abrexexg 5764 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  U  ->  { y  |  E. j  e.  I  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) }  e.  _V )
5 ssexg 4160 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  E. j  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } 
C_  { y  |  E. j  e.  I 
y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) }  /\  {
y  |  E. j  e.  I  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) }  e.  _V )  ->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  e.  _V )
63, 4, 5sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( I  e.  U  ->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  e.  _V )
76ralrimivw 2627 . . . . 5  |-  ( I  e.  U  ->  A. x  e.  NN0  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) }  e.  _V )
87adantl 452 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  A. x  e.  NN0  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) }  e.  _V )
9 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } )
109fnmpt 5370 . . . 4  |-  ( A. x  e.  NN0  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  e.  _V  ->  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } )  Fn  NN0 )
118, 10syl 15 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  Fn  NN0 )
12 hbtlem.s . . . . . . 7  |-  S  =  (ldgIdlSeq `  R )
13 elex 2796 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
_V )
14 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (Poly1 `  r )  =  (Poly1 `  R ) )
15 hbtlem.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
1614, 15syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (Poly1 `  r )  =  P )
1716fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  =  (LIdeal `  P
) )
18 hbtlem.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  (LIdeal `  P )
1917, 18syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  =  U )
20 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  R  ->  ( deg1  `  r )  =  ( deg1  `  R ) )
2120fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  R  ->  (
( deg1  `
 r ) `  j )  =  ( ( deg1  `  R ) `  j ) )
2221breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( deg1  `  r ) `  j )  <_  x  <->  ( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x
) )
2322anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( deg1  `  r
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) )  <->  ( (
( deg1  `
 R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) ) )
2423rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( E. j  e.  i 
( ( ( deg1  `  r
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) )  <->  E. j  e.  i  ( (
( deg1  `
 R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) ) )
2524abbidv 2397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  =  { y  |  E. j  e.  i  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } )
2625mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) )
2719, 26mpteq12dv 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
i  e.  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
28 df-ldgis 27326 . . . . . . . . 9  |- ldgIdlSeq  =  ( r  e.  _V  |->  ( i  e.  (LIdeal `  (Poly1 `  r ) )  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  r ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
29 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  (LIdeal `  P )  e.  _V
3018, 29eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  U  e. 
_V
3130mptex 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )  e.  _V
3227, 28, 31fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  _V  ->  (ldgIdlSeq `  R )  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
3313, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ldgIdlSeq `  R
)  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) ) )
3412, 33syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  S  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } ) ) )
3534fveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( S `
 I )  =  ( ( i  e.  U  |->  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) ) `  I
) )
36 rexeq 2737 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  ( E. j  e.  i 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) )  <->  E. j  e.  I  ( (
( deg1  `
 R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) ) )
3736abbidv 2397 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) }  =  { y  |  E. j  e.  I  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } )
3837mpteq2dv 4107 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) )
39 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )  =  ( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )
40 nn0ex 9971 . . . . . . 7  |-  NN0  e.  _V
4140mptex 5746 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } )  e.  _V
4238, 39, 41fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( I  e.  U  ->  (
( i  e.  U  |->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  i  (
( ( deg1  `  R ) `  j )  <_  x  /\  y  =  (
(coe1 `  j ) `  x ) ) } ) ) `  I
)  =  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I  ( ( ( deg1  `  R ) `  j
)  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x
) ) } ) )
4335, 42sylan9eq 2335 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I )  =  ( x  e. 
NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } ) )
4443fneq1d 5335 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  (
( S `  I
)  Fn  NN0  <->  ( x  e.  NN0  |->  { y  |  E. j  e.  I 
( ( ( deg1  `  R
) `  j )  <_  x  /\  y  =  ( (coe1 `  j ) `  x ) ) } )  Fn  NN0 )
)
4511, 44mpbird 223 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I )  Fn  NN0 )
46 hbtlem7.t . . . . 5  |-  T  =  (LIdeal `  R )
4715, 18, 12, 46hbtlem2 27328 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( S `  I
) `  x )  e.  T )
48473expa 1151 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( S `
 I ) `  x )  e.  T
)
4948ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( S `
 I ) `  x )  e.  T
)
50 ffnfv 5685 . 2  |-  ( ( S `  I ) : NN0 --> T  <->  ( ( S `  I )  Fn  NN0  /\  A. x  e.  NN0  ( ( S `
 I ) `  x )  e.  T
) )
5145, 49, 50sylanbrc 645 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  U )  ->  ( S `  I ) : NN0 --> T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   Ringcrg 15337  LIdealclidl 15923  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255   deg1 cdg1 19440  ldgIdlSeqcldgis 27325
This theorem is referenced by:  hbt  27334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442  df-ldgis 27326
  Copyright terms: Public domain W3C validator