HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hcaucvg Structured version   Unicode version

Theorem hcaucvg 22678
Description: A Cauchy sequence on a Hilbert space converges. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hcaucvg  |-  ( ( F  e.  Cauchy  /\  A  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( normh `  ( ( F `  y )  -h  ( F `  z
) ) )  < 
A )
Distinct variable groups:    y, z, F    y, A, z

Proof of Theorem hcaucvg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hcau 22676 . . 3  |-  ( F  e.  Cauchy 
<->  ( F : NN --> ~H  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( normh `  ( ( F `  y )  -h  ( F `  z )
) )  <  x
) )
21simprbi 451 . 2  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( normh `  ( ( F `  y )  -h  ( F `  z )
) )  <  x
)
3 breq2 4208 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( normh `  ( ( F `  y )  -h  ( F `  z
) ) )  < 
x  <->  ( normh `  (
( F `  y
)  -h  ( F `
 z ) ) )  <  A ) )
43rexralbidv 2741 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( normh `  ( ( F `  y )  -h  ( F `  z )
) )  <  x  <->  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( normh `  ( ( F `  y )  -h  ( F `  z )
) )  <  A
) )
54rspccva 3043 . 2  |-  ( ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( normh `  ( ( F `  y )  -h  ( F `  z )
) )  <  x  /\  A  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y ) ( normh `  ( ( F `  y )  -h  ( F `  z )
) )  <  A
)
62, 5sylan 458 1  |-  ( ( F  e.  Cauchy  /\  A  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  NN  A. z  e.  ( ZZ>= `  y )
( normh `  ( ( F `  y )  -h  ( F `  z
) ) )  < 
A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    < clt 9110   NNcn 9990   ZZ>=cuz 10478   RR+crp 10602   ~Hchil 22412   normhcno 22416    -h cmv 22418   Cauchyccau 22419
This theorem is referenced by:  chscllem2  23130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-hilex 22492
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-map 7012  df-nn 9991  df-hcau 22466
  Copyright terms: Public domain W3C validator