Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eu Structured version   Unicode version

Theorem hdmap1eu 32686
Description: Convert mapdh9a 32650 to use the HDMap1 notation. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eu.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1eu.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1eu.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1eu.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1eu.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1eu.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1eu.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1eu.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap1eu.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1eu.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1eu.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1eu.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
hdmap1eu.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1eu.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1eu.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmap1eu  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    y, z, C    y, D, z    y, F, z    y, L, z   
y, M, z    y, N, z    y,  .0. , z    y, T, z    y, U, z    y, V, z   
y, X, z    ph, y,
z
Allowed substitution hints:    H( y, z)    I( y, z)    K( y, z)    W( y, z)

Proof of Theorem hdmap1eu
Dummy variables  g  h  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1eu.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1eu.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1eu.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2438 . 2  |-  ( -g `  U )  =  (
-g `  U )
5 hdmap1eu.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 hdmap1eu.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 hdmap1eu.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmap1eu.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 eqid 2438 . 2  |-  ( -g `  C )  =  (
-g `  C )
10 eqid 2438 . 2  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
11 hdmap1eu.l . 2  |-  L  =  ( LSpan `  C )
12 hdmap1eu.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 hdmap1eu.i . 2  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
14 hdmap1eu.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 hdmap1eu.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
16 hdmap1eu.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
17 hdmap1eu.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 hdmap1eu.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
19 eqid 2438 . . 3  |-  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  , 
( 0g `  C
) ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( L `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) ( -g `  U
) ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( L `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) (
-g `  C )
h ) } ) ) ) ) )  =  ( x  e. 
_V  |->  if ( ( 2nd `  x )  =  .0.  ,  ( 0g `  C ) ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `
 ( N `  { ( 2nd `  x
) } ) )  =  ( L `  { h } )  /\  ( M `  ( N `  { ( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) ( -g `  U
) ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( L `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) (
-g `  C )
h ) } ) ) ) ) )
2019hdmap1cbv 32663 . 2  |-  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  , 
( 0g `  C
) ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( L `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) ( -g `  U
) ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( L `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) (
-g `  C )
h ) } ) ) ) ) )  =  ( w  e. 
_V  |->  if ( ( 2nd `  w )  =  .0.  ,  ( 0g `  C ) ,  ( iota_ g  e.  D ( ( M `
 ( N `  { ( 2nd `  w
) } ) )  =  ( L `  { g } )  /\  ( M `  ( N `  { ( ( 1st `  ( 1st `  w ) ) ( -g `  U
) ( 2nd `  w
) ) } ) )  =  ( L `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) (
-g `  C )
g ) } ) ) ) ) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20hdmap1eulem 32684 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E!wreu 2709   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    u. cun 3320   ifcif 3741   {csn 3816   <.cotp 3820    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1stc1st 6349   2ndc2nd 6350   iota_crio 6544   Basecbs 13471   0gc0g 13725   -gcsg 14690   LSpanclspn 16049   HLchlt 30210   LHypclh 30843   DVecHcdvh 31938  LCDualclcd 32446  mapdcmpd 32484  HDMap1chdma1 32652
This theorem is referenced by:  hdmapcl  32693  hdmapval2lem  32694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-undef 6545  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177  df-lsatoms 29836  df-lshyp 29837  df-lcv 29879  df-lfl 29918  df-lkr 29946  df-ldual 29984  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018  df-tgrp 31602  df-tendo 31614  df-edring 31616  df-dveca 31862  df-disoa 31889  df-dvech 31939  df-dib 31999  df-dic 32033  df-dih 32089  df-doch 32208  df-djh 32255  df-lcdual 32447  df-mapd 32485  df-hdmap1 32654
  Copyright terms: Public domain W3C validator