Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1eulem Unicode version

Theorem hdmap1eulem 32014
Description: Lemma for hdmap1eu 32016. TODO: combine with hdmap1eu 32016 or at least share some hypotheses. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1eulem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1eulem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1eulem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1eulem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1eulem.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1eulem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1eulem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1eulem.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1eulem.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1eulem.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1eulem.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
hdmap1eulem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1eulem.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1eulem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1eulem.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
hdmap1eulem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1eulem.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1eulem.y  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
hdmap1eulem.l  |-  L  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
hdmap1eulem  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Distinct variable groups:    C, h    x, h, y, z, D   
h, F, x, y, z    h, J, x   
h, L, x, y, z    h, M, x   
h, N, x, y, z    .0. , h, x, y, z    x, Q    R, h, x    .- , h, x    T, h, x, y, z    U, h, z    h, V, y, z    h, X, x, y, z    ph, h, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x)    C( x, y, z)    Q( y, z, h)    R( y,
z)    U( x, y)    H( x, y, z, h)    I( x, y, z, h)    J( y, z)    K( x, y, z, h)    M( y,
z)    .- ( y, z)    V( x)    W( x, y, z, h)

Proof of Theorem hdmap1eulem
StepHypRef Expression
1 hdmap1eulem.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1eulem.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1eulem.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1eulem.s . . 3  |-  .-  =  ( -g `  U )
5 hdmap1eulem.o . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
6 hdmap1eulem.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 hdmap1eulem.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmap1eulem.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 hdmap1eulem.r . . 3  |-  R  =  ( -g `  C
)
10 hdmap1eulem.q . . 3  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
11 hdmap1eulem.j . . 3  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 hdmap1eulem.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
13 hdmap1eulem.l . . 3  |-  L  =  ( x  e.  _V  |->  if ( ( 2nd `  x
)  =  .0.  ,  Q ,  ( iota_ h  e.  D ( ( M `  ( N `
 { ( 2nd `  x ) } ) )  =  ( J `
 { h }
)  /\  ( M `  ( N `  {
( ( 1st `  ( 1st `  x ) ) 
.-  ( 2nd `  x
) ) } ) )  =  ( J `
 { ( ( 2nd `  ( 1st `  x ) ) R h ) } ) ) ) ) )
14 hdmap1eulem.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 hdmap1eulem.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
16 hdmap1eulem.mn . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
17 hdmap1eulem.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
18 hdmap1eulem.y . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18mapdh9a 31980 . 2  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
20 hdmap1eulem.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
2114ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2217ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2315ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  F  e.  D
)
24 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  z  e.  V
)
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 13hdmap1valc 31994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. X ,  F , 
z >. )  =  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) )
26 oteq2 3806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  <. X ,  F ,  z >. )  =  ( L `  <. X ,  F , 
z >. )  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >.  =  <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
2725, 26syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >.  =  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )
2827fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )
29 elun1 3342 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( N `  { X } )  -> 
z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
3029con3i 127 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
3114ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
32 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
331, 2, 14dvhlmod 31300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  U  e.  LMod )
35 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
3617, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  V )
383, 32, 6lspsncl 15734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
3934, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  ( LSubSp `  U
) )
40 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  z  e.  V )
41 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )
423, 5, 32, 34, 39, 40, 41lssneln0 15709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4315ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  F  e.  D )
4416ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { F } ) )
4517ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
463, 6, 34, 40, 37, 41lspsnne2 15871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { z } )  =/=  ( N `  { X } ) )
4746necomd 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { z } ) )
4810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 31, 43, 44, 45, 40, 47mapdhcl 31917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( L `  <. X ,  F ,  z >. )  e.  D )
4918ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  T  e.  V )
501, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 20, 31, 42, 48, 49, 13hdmap1valc 31994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( N `  { X } ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( L `  <. z ,  ( L `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. ) )
5130, 50sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( L `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( L `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )
5228, 51eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( I `  <. z ,  ( I `
 <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )  =  ( L `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) )
5352eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  V )  /\  -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) ) )  ->  ( y  =  ( I `  <. z ,  ( I `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. )  <->  y  =  ( L `  <. z ,  ( L `  <. X ,  F , 
z >. ) ,  T >. ) ) )
5453pm5.74da 668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  V )  ->  (
( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
5554ralbidva 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
5655reubidv 2724 . 2  |-  ( ph  ->  ( E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
)  <->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( L `
 <. z ,  ( L `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) ) )
5719, 56mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  E! y  e.  D  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { X } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
y  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. X ,  F ,  z >. ) ,  T >. )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E!wreu 2545   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150   ifcif 3565   {csn 3640   <.cotp 3644    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   iota_crio 6297   Basecbs 13148   0gc0g 13400   -gcsg 14365   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   HLchlt 29540   LHypclh 30173   DVecHcdvh 31268  LCDualclcd 31776  mapdcmpd 31814  HDMap1chdma1 31982
This theorem is referenced by:  hdmap1eu  32016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lshyp 29167  df-lcv 29209  df-lfl 29248  df-lkr 29276  df-ldual 29314  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585  df-lcdual 31777  df-mapd 31815  df-hdmap1 31984
  Copyright terms: Public domain W3C validator