Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1fval Structured version   Unicode version

Theorem hdmap1fval 32595
 Description: Preliminary map from vectors to functionals in the closed kernel dual space. TODO: change span to the convention for this section. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1val.h
hdmap1fval.u
hdmap1fval.v
hdmap1fval.s
hdmap1fval.o
hdmap1fval.n
hdmap1fval.c LCDual
hdmap1fval.d
hdmap1fval.r
hdmap1fval.q
hdmap1fval.j
hdmap1fval.m mapd
hdmap1fval.i HDMap1
hdmap1fval.k
Assertion
Ref Expression
hdmap1fval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem hdmap1fval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmap1fval.k . 2
2 hdmap1fval.i . . . 4 HDMap1
3 hdmap1val.h . . . . . 6
43hdmap1ffval 32594 . . . . 5 HDMap1 LCDual mapd
54fveq1d 5730 . . . 4 HDMap1 LCDual mapd
62, 5syl5eq 2480 . . 3 LCDual mapd
7 fveq2 5728 . . . . . . . 8
8 dfsbcq 3163 . . . . . . . 8 LCDual mapd LCDual mapd
97, 8syl 16 . . . . . . 7 LCDual mapd LCDual mapd
10 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12 LCDual LCDual
11 dfsbcq 3163 . . . . . . . . . . . 12 LCDual LCDual LCDual mapd LCDual mapd
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11 LCDual mapd LCDual mapd
13 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15 mapd mapd
14 dfsbcq 3163 . . . . . . . . . . . . . . 15 mapd mapd mapd mapd
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 mapd mapd
1615sbcbidv 3215 . . . . . . . . . . . . 13 mapd mapd
1716sbcbidv 3215 . . . . . . . . . . . 12 mapd mapd
1817sbcbidv 3215 . . . . . . . . . . 11 LCDual mapd LCDual mapd
1912, 18bitrd 245 . . . . . . . . . 10 LCDual mapd LCDual mapd
2019sbcbidv 3215 . . . . . . . . 9 LCDual mapd LCDual mapd
2120sbcbidv 3215 . . . . . . . 8 LCDual mapd LCDual mapd
2221sbcbidv 3215 . . . . . . 7 LCDual mapd LCDual mapd
239, 22bitrd 245 . . . . . 6 LCDual mapd LCDual mapd
24 fvex 5742 . . . . . . 7
25 fvex 5742 . . . . . . 7
26 fvex 5742 . . . . . . 7
27 hdmap1fval.u . . . . . . . . . . 11
2827eqeq2i 2446 . . . . . . . . . 10
2928biimpri 198 . . . . . . . . 9
30293ad2ant1 978 . . . . . . . 8
31 simp2 958 . . . . . . . . . 10
3229fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
33323ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10
3431, 33eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
35 hdmap1fval.v . . . . . . . . 9
3634, 35syl6eqr 2486 . . . . . . . 8
37 simp3 959 . . . . . . . . . 10
3830fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
3937, 38eqtrd 2468 . . . . . . . . 9
40 hdmap1fval.n . . . . . . . . 9
4139, 40syl6eqr 2486 . . . . . . . 8
42 fvex 5742 . . . . . . . . . 10 LCDual
43 fvex 5742 . . . . . . . . . 10
44 fvex 5742 . . . . . . . . . 10
45 id 20 . . . . . . . . . . . . 13 LCDual LCDual
46 hdmap1fval.c . . . . . . . . . . . . 13 LCDual
4745, 46syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12 LCDual
48473ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11 LCDual
49 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12 LCDual
5048fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13 LCDual
51 hdmap1fval.d . . . . . . . . . . . . 13
5250, 51syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12 LCDual
5349, 52eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11 LCDual
54 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12 LCDual
5548fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13 LCDual
56 hdmap1fval.j . . . . . . . . . . . . 13
5755, 56syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . 12 LCDual
5854, 57eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11 LCDual
59 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . 13 mapd
60 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15 mapd mapd
61 hdmap1fval.m . . . . . . . . . . . . . . 15 mapd
6260, 61syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . 14 mapd
63 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6463eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6665eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6764, 66anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867riotabidv 6551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968ifeq2d 3754 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069mpteq2dv 4296 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14
7262, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 mapd
7359, 72sbcie 3195 . . . . . . . . . . . 12 mapd
74 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . 15
75 xpeq2 4893 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675xpeq1d 4901 . . . . . . . . . . . . . . 15
7774, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
78 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 hdmap1fval.q . . . . . . . . . . . . . . . 16
8179, 80syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8483eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8578fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
86 hdmap1fval.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8785, 86syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8887oveqd 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988sneqd 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9082, 89fveq12d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9190eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9284, 91anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9374, 92riotaeqbidv 6552 . . . . . . . . . . . . . . 15
9481, 93ifeq12d 3755 . . . . . . . . . . . . . 14
9577, 94mpteq12dv 4287 . . . . . . . . . . . . 13
9695eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . 12
9773, 96syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11 mapd
9848, 53, 58, 97syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 LCDual mapd
9942, 43, 44, 98sbc3ie 3230 . . . . . . . . 9 LCDual mapd
100 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13
101100xpeq1d 4901 . . . . . . . . . . . 12
102101, 100xpeq12d 4903 . . . . . . . . . . 11
103 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14
105 hdmap1fval.o . . . . . . . . . . . . . 14
106104, 105syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . 13
107106eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . 12
108 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110109fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15
111110eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14
112103fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113 hdmap1fval.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114112, 113syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115114oveqd 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115sneqd 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117108, 116fveq12d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118117fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15
119118eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14
120111, 119anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13
121120riotabidv 6551 . . . . . . . . . . . 12
122107, 121ifbieq2d 3759 . . . . . . . . . . 11
123102, 122mpteq12dv 4287 . . . . . . . . . 10
124123eleq2d 2503 . . . . . . . . 9
12599, 124syl5bb 249 . . . . . . . 8 LCDual mapd
12630, 36, 41, 125syl3anc 1184 . . . . . . 7 LCDual mapd
12724, 25, 26, 126sbc3ie 3230 . . . . . 6 LCDual mapd
12823, 127syl6bb 253 . . . . 5 LCDual mapd
129128abbi1dv 2552 . . . 4 LCDual mapd
130 eqid 2436 . . . 4 LCDual mapd LCDual mapd
131 fvex 5742 . . . . . . . 8
13235, 131eqeltri 2506 . . . . . . 7
133 fvex 5742 . . . . . . . 8
13451, 133eqeltri 2506 . . . . . . 7
135132, 134xpex 4990 . . . . . 6
136135, 132xpex 4990 . . . . 5
137136mptex 5966 . . . 4
138129, 130, 137fvmpt 5806 . . 3 LCDual mapd
1396, 138sylan9eq 2488 . 2
1401, 139syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  cvv 2956  wsbc 3161  cif 3739  csn 3814   cmpt 4266   cxp 4876  cfv 5454  (class class class)co 6081  c1st 6347  c2nd 6348  crio 6542  cbs 13469  c0g 13723  csg 14688  clspn 16047  clh 30781  cdvh 31876  LCDualclcd 32384  mapdcmpd 32422  HDMap1chdma1 32590 This theorem is referenced by:  hdmap1vallem  32596 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-riota 6549  df-hdmap1 32592
 Copyright terms: Public domain W3C validator