Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6f Structured version   Unicode version

Theorem hdmap1l6f 32688
Description: Lemmma for hdmap1l6 32694. Part (6) in [Baer] p. 47 line 38. (Contributed by NM, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmap1l6.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmap1l6.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmap1l6.p  |-  .+  =  ( +g  `  U )
hdmap1l6.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
hdmap1l6c.o  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
hdmap1l6.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmap1l6.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmap1l6.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmap1l6.a  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
hdmap1l6.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
hdmap1l6.q  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
hdmap1l6.l  |-  L  =  ( LSpan `  C )
hdmap1l6.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
hdmap1l6.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmap1l6.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmap1l6.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
hdmap1l6cl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6.mn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
hdmap1l6d.xn  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
hdmap1l6d.yz  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =  ( N `  { Z } ) )
hdmap1l6d.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.w  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
hdmap1l6d.wn  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6f  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ) )

Proof of Theorem hdmap1l6f
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . 2  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hdmap1l6.u . 2  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 hdmap1l6.v . 2  |-  V  =  ( Base `  U
)
4 hdmap1l6.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  U )
5 hdmap1l6.s . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 hdmap1l6c.o . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 hdmap1l6.n . 2  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 hdmap1l6.c . 2  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 hdmap1l6.d . 2  |-  D  =  ( Base `  C
)
10 hdmap1l6.a . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  C )
11 hdmap1l6.r . 2  |-  R  =  ( -g `  C
)
12 hdmap1l6.q . 2  |-  Q  =  ( 0g `  C
)
13 hdmap1l6.l . 2  |-  L  =  ( LSpan `  C )
14 hdmap1l6.m . 2  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
15 hdmap1l6.i . 2  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
16 hdmap1l6.k . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
17 hdmap1l6.f . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
18 hdmap1l6cl.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
19 hdmap1l6.mn . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( L `  { F } ) )
20 hdmap1l6d.w . 2  |-  ( ph  ->  w  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21 hdmap1l6d.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
221, 2, 16dvhlvec 31981 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LVec )
2321eldifad 3334 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
2420eldifad 3334 . . . 4  |-  ( ph  ->  w  e.  V )
2518eldifad 3334 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
26 hdmap1l6d.z . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
2726eldifad 3334 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
28 hdmap1l6d.xn . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
293, 7, 22, 25, 23, 27, 28lspindpi 16209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
3029simpld 447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
31 hdmap1l6d.wn . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  w  e.  ( N `  { X ,  Y } ) )
323, 6, 7, 22, 18, 23, 24, 30, 31lspindp1 16210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) ) )
3332simprd 451 . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { w ,  Y } ) )
343, 7, 22, 24, 25, 23, 31lspindpi 16209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { X } )  /\  ( N `  { w } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
3534simprd 451 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
w } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
36 eqidd 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  w >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  w >. ) )
37 eqidd 2439 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. )  =  ( I `
 <. X ,  F ,  Y >. ) )
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 33, 35, 36, 37hdmap1l6a 32682 1  |-  ( ph  ->  ( I `  <. X ,  F ,  ( w  .+  Y )
>. )  =  (
( I `  <. X ,  F ,  w >. )  .+b  ( I `  <. X ,  F ,  Y >. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   {csn 3816   {cpr 3817   <.cotp 3820   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   0gc0g 13728   -gcsg 14693   LSpanclspn 16052   HLchlt 30222   LHypclh 30855   DVecHcdvh 31950  LCDualclcd 32458  mapdcmpd 32496  HDMap1chdma1 32664
This theorem is referenced by:  hdmap1l6g  32689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-undef 6546  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-oppg 15147  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180  df-lsatoms 29848  df-lshyp 29849  df-lcv 29891  df-lfl 29930  df-lkr 29958  df-ldual 29996  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371  df-lines 30372  df-psubsp 30374  df-pmap 30375  df-padd 30667  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976  df-trl 31030  df-tgrp 31614  df-tendo 31626  df-edring 31628  df-dveca 31874  df-disoa 31901  df-dvech 31951  df-dib 32011  df-dic 32045  df-dih 32101  df-doch 32220  df-djh 32267  df-lcdual 32459  df-mapd 32497  df-hdmap1 32666
  Copyright terms: Public domain W3C validator