Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapcl Unicode version

Theorem hdmapcl 32094
 Description: Closure of map from vectors to functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapcl.h
hdmapcl.u
hdmapcl.v
hdmapcl.c LCDual
hdmapcl.d
hdmapcl.s HDMap
hdmapcl.k
hdmapcl.t
Assertion
Ref Expression
hdmapcl

Proof of Theorem hdmapcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapcl.h . . 3
2 eqid 2366 . . 3
3 hdmapcl.u . . 3
4 hdmapcl.v . . 3
5 eqid 2366 . . 3
6 hdmapcl.c . . 3 LCDual
7 hdmapcl.d . . 3
8 eqid 2366 . . 3 HVMap HVMap
9 eqid 2366 . . 3 HDMap1 HDMap1
10 hdmapcl.s . . 3 HDMap
11 hdmapcl.k . . 3
12 hdmapcl.t . . 3
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hdmapval 32092 . 2 HDMap1 HDMap1 HVMap
14 eqid 2366 . . . 4
15 eqid 2366 . . . 4
16 eqid 2366 . . . 4 mapd mapd
17 eqid 2366 . . . . . 6
18 eqid 2366 . . . . . 6
191, 17, 18, 3, 4, 14, 2, 11dvheveccl 31373 . . . . 5
201, 3, 4, 14, 5, 6, 15, 16, 8, 11, 19mapdhvmap 32030 . . . 4 mapd HVMap
21 eqid 2366 . . . . . 6
221, 3, 4, 14, 6, 7, 21, 8, 11, 19hvmapcl2 32027 . . . . 5 HVMap
23 eldifi 3385 . . . . 5 HVMap HVMap
2422, 23syl 15 . . . 4 HVMap
251, 3, 4, 14, 5, 6, 7, 15, 16, 9, 11, 20, 19, 24, 12hdmap1eu 32087 . . 3 HDMap1 HDMap1 HVMap
26 riotacl 6461 . . 3 HDMap1 HDMap1 HVMap HDMap1 HDMap1 HVMap
2725, 26syl 15 . 2 HDMap1 HDMap1 HVMap
2813, 27eqeltrd 2440 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1647   wcel 1715  wral 2628  wreu 2630   cdif 3235   cun 3236  csn 3729  cop 3732  cotp 3733   cid 4407   cres 4794  cfv 5358  crio 6439  cbs 13356  c0g 13610  clspn 15938  chlt 29611  clh 30244  cltrn 30361  cdvh 31339  LCDualclcd 31847  mapdcmpd 31885  HVMapchvm 32017  HDMap1chdma1 32053  HDMapchdma 32054 This theorem is referenced by:  hdmapval2  32096  hdmap10lem  32103  hdmapeq0  32108  hdmapnzcl  32109  hdmapneg  32110  hdmapsub  32111  hdmap11  32112  hdmaprnlem3N  32114  hdmaprnlem3uN  32115  hdmaprnlem7N  32119  hdmaprnlem8N  32120  hdmaprnlem9N  32121  hdmaprnlem3eN  32122  hdmaprnN  32128  hdmap14lem2a  32131  hdmap14lem2N  32133  hdmap14lem3  32134  hdmap14lem4a  32135  hdmap14lem6  32137  hdmap14lem8  32139  hgmapval0  32156  hgmapval1  32157  hgmapadd  32158  hgmapmul  32159  hgmaprnlem1N  32160  hgmaprnlem2N  32161  hgmaprnlem4N  32163  hdmapipcl  32169  hdmapln1  32170  hdmaplna1  32171  hdmaplns1  32172  hdmaplnm1  32173  hdmaplna2  32174  hdmapglnm2  32175  hdmaplkr  32177  hdmapellkr  32178  hdmapip0  32179  hdmapinvlem1  32182  hdmapinvlem3  32184 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-fal 1325  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-ot 3739  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-undef 6440  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-poset 14290  df-plt 14302  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-p0 14355  df-p1 14356  df-lat 14362  df-clat 14424  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-cntz 15003  df-oppg 15029  df-lsm 15157  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-dvr 15675  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lvec 16066  df-lsatoms 29237  df-lshyp 29238  df-lcv 29280  df-lfl 29319  df-lkr 29347  df-ldual 29385  df-oposet 29437  df-ol 29439  df-oml 29440  df-covers 29527  df-ats 29528  df-atl 29559  df-cvlat 29583  df-hlat 29612  df-llines 29758  df-lplanes 29759  df-lvols 29760  df-lines 29761  df-psubsp 29763  df-pmap 29764  df-padd 30056  df-lhyp 30248  df-laut 30249  df-ldil 30364  df-ltrn 30365  df-trl 30419  df-tgrp 31003  df-tendo 31015  df-edring 31017  df-dveca 31263  df-disoa 31290  df-dvech 31340  df-dib 31400  df-dic 31434  df-dih 31490  df-doch 31609  df-djh 31656  df-lcdual 31848  df-mapd 31886  df-hvmap 32018  df-hdmap1 32055  df-hdmap 32056
 Copyright terms: Public domain W3C validator