Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapinvlem4 Unicode version

Theorem hdmapinvlem4 31487
 Description: Part 1.1 of Proposition 1 of [Baer] p. 110. We use , , , and for Baer's u, v, s, and t. Our unit vector has the required properties for his w by hdmapevec2 31402. Our means his f(u,v) (note argument reversal). (Contributed by NM, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapinvlem3.h
hdmapinvlem3.e
hdmapinvlem3.o
hdmapinvlem3.u
hdmapinvlem3.v
hdmapinvlem3.p
hdmapinvlem3.m
hdmapinvlem3.q
hdmapinvlem3.r Scalar
hdmapinvlem3.b
hdmapinvlem3.t
hdmapinvlem3.z
hdmapinvlem3.s HDMap
hdmapinvlem3.g HGMap
hdmapinvlem3.k
hdmapinvlem3.c
hdmapinvlem3.d
hdmapinvlem3.i
hdmapinvlem3.j
hdmapinvlem3.ij
Assertion
Ref Expression
hdmapinvlem4

Proof of Theorem hdmapinvlem4
StepHypRef Expression
1 hdmapinvlem3.h . . . 4
2 hdmapinvlem3.u . . . 4
3 hdmapinvlem3.v . . . 4
4 hdmapinvlem3.m . . . 4
5 hdmapinvlem3.r . . . 4 Scalar
6 eqid 2283 . . . 4
7 hdmapinvlem3.s . . . 4 HDMap
8 hdmapinvlem3.k . . . 4
91, 2, 8dvhlmod 30673 . . . . 5
10 hdmapinvlem3.j . . . . 5
11 eqid 2283 . . . . . . 7
12 eqid 2283 . . . . . . 7
13 eqid 2283 . . . . . . 7
14 hdmapinvlem3.e . . . . . . 7
151, 11, 12, 2, 3, 13, 14, 8dvheveccl 30675 . . . . . 6
16 eldifi 3298 . . . . . 6
1715, 16syl 15 . . . . 5
18 hdmapinvlem3.q . . . . . 6
19 hdmapinvlem3.b . . . . . 6
203, 5, 18, 19lmodvscl 15644 . . . . 5
219, 10, 17, 20syl3anc 1182 . . . 4
2217snssd 3760 . . . . . 6
23 hdmapinvlem3.o . . . . . . 7
241, 2, 3, 23dochssv 30918 . . . . . 6
258, 22, 24syl2anc 642 . . . . 5
26 hdmapinvlem3.d . . . . 5
2725, 26sseldd 3181 . . . 4
28 hdmapinvlem3.i . . . . . 6
293, 5, 18, 19lmodvscl 15644 . . . . . 6
309, 28, 17, 29syl3anc 1182 . . . . 5
31 hdmapinvlem3.c . . . . . 6
3225, 31sseldd 3181 . . . . 5
33 hdmapinvlem3.p . . . . . 6
343, 33lmodvacl 15641 . . . . 5
359, 30, 32, 34syl3anc 1182 . . . 4
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21, 27, 35hdmaplns1 31474 . . 3
37 hdmapinvlem3.t . . . . 5
38 hdmapinvlem3.z . . . . 5
39 hdmapinvlem3.g . . . . 5 HGMap
40 hdmapinvlem3.ij . . . . 5
411, 14, 23, 2, 3, 33, 4, 18, 5, 19, 37, 38, 7, 39, 8, 31, 26, 28, 10, 40hdmapinvlem3 31486 . . . 4
423, 4lmodvsubcl 15670 . . . . . 6
439, 21, 27, 42syl3anc 1182 . . . . 5
441, 2, 3, 5, 38, 7, 8, 43, 35hdmapip0com 31483 . . . 4
4541, 44mpbid 201 . . 3
461, 2, 3, 18, 5, 19, 37, 7, 8, 17, 35, 10hdmaplnm1 31475 . . . . 5
47 eqid 2283 . . . . . . . 8
481, 2, 3, 33, 5, 47, 7, 8, 17, 30, 32hdmaplna2 31476 . . . . . . 7
491, 14, 23, 2, 3, 5, 19, 37, 38, 7, 8, 31hdmapinvlem2 31485 . . . . . . . 8
5049oveq2d 5874 . . . . . . 7
515lmodrng 15635 . . . . . . . . . . 11
529, 51syl 15 . . . . . . . . . 10
53 rnggrp 15346 . . . . . . . . . 10
5452, 53syl 15 . . . . . . . . 9
551, 2, 3, 5, 19, 7, 8, 17, 30hdmapipcl 31471 . . . . . . . . 9
5619, 47, 38grprid 14513 . . . . . . . . 9
5754, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . 8
581, 2, 3, 18, 5, 19, 37, 7, 39, 8, 17, 17, 28hdmapglnm2 31477 . . . . . . . 8
59 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11 HVMap HVMap
60 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
611, 14, 59, 7, 8, 2, 5, 60hdmapevec2 31402 . . . . . . . . . 10
6261oveq1d 5873 . . . . . . . . 9
631, 2, 5, 19, 39, 8, 28hgmapcl 31455 . . . . . . . . . 10
6419, 37, 60rnglidm 15364 . . . . . . . . . 10
6552, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . 9
6662, 65eqtrd 2315 . . . . . . . 8
6757, 58, 663eqtrd 2319 . . . . . . 7
6848, 50, 673eqtrd 2319 . . . . . 6
6968oveq2d 5874 . . . . 5
7046, 69eqtrd 2315 . . . 4
711, 2, 3, 33, 5, 47, 7, 8, 27, 30, 32hdmaplna2 31476 . . . . 5
721, 2, 3, 18, 5, 19, 37, 7, 39, 8, 27, 17, 28hdmapglnm2 31477 . . . . . . 7
731, 14, 23, 2, 3, 5, 19, 37, 38, 7, 8, 26hdmapinvlem1 31484 . . . . . . . 8
7473oveq1d 5873 . . . . . . 7
7519, 37, 38rnglz 15377 . . . . . . . 8
7652, 63, 75syl2anc 642 . . . . . . 7
7772, 74, 763eqtrd 2319 . . . . . 6
7877oveq1d 5873 . . . . 5
791, 2, 3, 5, 19, 7, 8, 27, 32hdmapipcl 31471 . . . . . 6
8019, 47, 38grplid 14512 . . . . . 6
8154, 79, 80syl2anc 642 . . . . 5
8271, 78, 813eqtrd 2319 . . . 4
8370, 82oveq12d 5876 . . 3
8436, 45, 833eqtr3rd 2324 . 2
855, 19, 37lmodmcl 15639 . . . 4
869, 10, 63, 85syl3anc 1182 . . 3
8719, 38, 6grpsubeq0 14552 . . 3
8854, 86, 79, 87syl3anc 1182 . 2
8984, 88mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   cdif 3149   wss 3152  csn 3640  cop 3643   cid 4304   cres 4691  cfv 5255  (class class class)co 5858  cbs 13148   cplusg 13208  cmulr 13209  Scalarcsca 13211  cvsca 13212  c0g 13400  cgrp 14362  csg 14365  crg 15337  cur 15339  clmod 15627  chlt 28913  clh 29546  cltrn 29663  cdvh 30641  coch 30910  HVMapchvm 31319  HDMapchdma 31356  HGMapchg 31449 This theorem is referenced by:  hdmapglem5  31488  hgmapvvlem1  31489 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 28539  df-lshyp 28540  df-lcv 28582  df-lfl 28621  df-lkr 28649  df-ldual 28687  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-atl 28861  df-cvlat 28885  df-hlat 28914  df-llines 29060  df-lplanes 29061  df-lvols 29062  df-lines 29063  df-psubsp 29065  df-pmap 29066  df-padd 29358  df-lhyp 29550  df-laut 29551  df-ldil 29666  df-ltrn 29667  df-trl 29721  df-tgrp 30305  df-tendo 30317  df-edring 30319  df-dveca 30565  df-disoa 30592  df-dvech 30642  df-dib 30702  df-dic 30736  df-dih 30792  df-doch 30911  df-djh 30958  df-lcdual 31150  df-mapd 31188  df-hvmap 31320  df-hdmap1 31357  df-hdmap 31358  df-hgmap 31450
 Copyright terms: Public domain W3C validator