Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval2 Unicode version

Theorem hdmapval2 32322
Description: Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were changed to two  =/= hypothesis? Consider hdmaplem1 32258 through hdmaplem4 32261, which would become obsolete. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval2.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval2.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval2.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval2.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval2.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval2.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval2.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
hdmapval2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmapval2.ne  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapval2  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2409 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( S `
 T ) )
2 hdmapval2.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 hdmapval2.e . . . 4  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
4 hdmapval2.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmapval2.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 hdmapval2.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 hdmapval2.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmapval2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 hdmapval2.j . . . 4  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
10 hdmapval2.i . . . 4  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
11 hdmapval2.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
12 hdmapval2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hdmapval2.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
142, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13hdmapcl 32320 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  D )
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14hdmapval2lem 32321 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  ( S `  T )  <->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) ) ) )
161, 15mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) ) )
17 hdmapval2.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
18 hdmapval2.ne . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
19 eleq1 2468 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
2019notbid 286 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  ( -.  z  e.  (
( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
21 oteq1 3957 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  T >.  =  <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. )
22 oteq3 3959 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.  =  <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. )
2322fveq2d 5695 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. )
)
2423oteq2d 3961 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  <. X , 
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  z
>. ) ,  T >.  = 
<. X ,  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. ) ,  T >. )
2521, 24eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  T >.  =  <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
2625fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. ) ,  T >. ) )
2726eqeq2d 2419 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  (
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. )  <-> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) )
2820, 27imbi12d 312 . . 3  |-  ( z  =  X  ->  (
( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) )  <->  ( -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) ) )
2928rspccv 3013 . 2  |-  ( A. z  e.  V  ( -.  z  e.  (
( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) )  ->  ( X  e.  V  ->  ( -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) ) )
3016, 17, 18, 29syl3c 59 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670    u. cun 3282   {csn 3778   <.cop 3781   <.cotp 3782    _I cid 4457    |` cres 4843   ` cfv 5417   Basecbs 13428   LSpanclspn 16006   HLchlt 29837   LHypclh 30470   LTrncltrn 30587   DVecHcdvh 31565  LCDualclcd 32073  HVMapchvm 32243  HDMap1chdma1 32279  HDMapchdma 32280
This theorem is referenced by:  hdmapval0  32323  hdmapeveclem  32324  hdmapval3lemN  32327  hdmap10lem  32329  hdmap11lem1  32331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-ot 3788  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-undef 6506  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-0g 13686  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-cntz 15075  df-oppg 15101  df-lsm 15229  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-dvr 15747  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134  df-lsatoms 29463  df-lshyp 29464  df-lcv 29506  df-lfl 29545  df-lkr 29573  df-ldual 29611  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tgrp 31229  df-tendo 31241  df-edring 31243  df-dveca 31489  df-disoa 31516  df-dvech 31566  df-dib 31626  df-dic 31660  df-dih 31716  df-doch 31835  df-djh 31882  df-lcdual 32074  df-mapd 32112  df-hvmap 32244  df-hdmap1 32281  df-hdmap 32282
  Copyright terms: Public domain W3C validator