Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval2 Unicode version

Theorem hdmapval2 32094
Description: Value of map from vectors to functionals with a specific auxiliary vector. TODO: Would shorter proofs result if the .ne hypothesis were changed to two  =/= hypothesis? Consider hdmaplem1 32030 through hdmaplem4 32033, which would become obsolete. (Contributed by NM, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval2.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval2.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval2.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval2.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval2.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval2.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval2.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval2.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval2.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval2.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
hdmapval2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
hdmapval2.ne  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
Assertion
Ref Expression
hdmapval2  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( S `
 T ) )
2 hdmapval2.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 hdmapval2.e . . . 4  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
4 hdmapval2.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 hdmapval2.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
6 hdmapval2.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
7 hdmapval2.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
8 hdmapval2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  C
)
9 hdmapval2.j . . . 4  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
10 hdmapval2.i . . . 4  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
11 hdmapval2.s . . . 4  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
12 hdmapval2.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 hdmapval2.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
142, 4, 5, 7, 8, 11, 12, 13hdmapcl 32092 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  e.  D )
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14hdmapval2lem 32093 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  T )  =  ( S `  T )  <->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) ) ) )
161, 15mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  V  ( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) ) )
17 hdmapval2.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
18 hdmapval2.ne . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) )
19 eleq1 2418 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
2019notbid 285 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  ( -.  z  e.  (
( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  <->  -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) ) ) )
21 oteq1 3886 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  T >.  =  <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. )
22 oteq3 3888 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  X  ->  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.  =  <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. )
2322fveq2d 5612 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  X  ->  (
I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. )
)
24 oteq2 3887 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. )  -> 
<. X ,  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  z >. ) ,  T >.  =  <. X ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  X >. ) ,  T >. )
2523, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  <. X , 
( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  z
>. ) ,  T >.  = 
<. X ,  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. ) ,  T >. )
2621, 25eqtrd 2390 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  z >. ) ,  T >.  =  <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
2726fveq2d 5612 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
I `  <. z ,  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  z
>. ) ,  T >. )  =  ( I `  <. X ,  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  X >. ) ,  T >. ) )
2827eqeq2d 2369 . . . 4  |-  ( z  =  X  ->  (
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. )  <-> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) )
2920, 28imbi12d 311 . . 3  |-  ( z  =  X  ->  (
( -.  z  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) )  <->  ( -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) ) )
3029rspccv 2957 . 2  |-  ( A. z  e.  V  ( -.  z  e.  (
( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. z ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  z >.
) ,  T >. ) )  ->  ( X  e.  V  ->  ( -.  X  e.  ( ( N `  { E } )  u.  ( N `  { T } ) )  -> 
( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
) ) )
3116, 17, 18, 30syl3c 57 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. X ,  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  X >. ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    u. cun 3226   {csn 3716   <.cop 3719   <.cotp 3720    _I cid 4386    |` cres 4773   ` cfv 5337   Basecbs 13245   LSpanclspn 15827   HLchlt 29609   LHypclh 30242   LTrncltrn 30359   DVecHcdvh 31337  LCDualclcd 31845  HVMapchvm 32015  HDMap1chdma1 32051  HDMapchdma 32052
This theorem is referenced by:  hdmapval0  32095  hdmapeveclem  32096  hdmapval3lemN  32099  hdmap10lem  32101  hdmap11lem1  32103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-fal 1320  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-ot 3726  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-undef 6385  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-0g 13503  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-poset 14179  df-plt 14191  df-lub 14207  df-glb 14208  df-join 14209  df-meet 14210  df-p0 14244  df-p1 14245  df-lat 14251  df-clat 14313  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-oppg 14918  df-lsm 15046  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-dvr 15564  df-drng 15613  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lvec 15955  df-lsatoms 29235  df-lshyp 29236  df-lcv 29278  df-lfl 29317  df-lkr 29345  df-ldual 29383  df-oposet 29435  df-ol 29437  df-oml 29438  df-covers 29525  df-ats 29526  df-atl 29557  df-cvlat 29581  df-hlat 29610  df-llines 29756  df-lplanes 29757  df-lvols 29758  df-lines 29759  df-psubsp 29761  df-pmap 29762  df-padd 30054  df-lhyp 30246  df-laut 30247  df-ldil 30362  df-ltrn 30363  df-trl 30417  df-tgrp 31001  df-tendo 31013  df-edring 31015  df-dveca 31261  df-disoa 31288  df-dvech 31338  df-dib 31398  df-dic 31432  df-dih 31488  df-doch 31607  df-djh 31654  df-lcdual 31846  df-mapd 31884  df-hvmap 32016  df-hdmap1 32053  df-hdmap 32054
  Copyright terms: Public domain W3C validator