Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3N Structured version   Unicode version

Theorem hdmapval3N 32639
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector  E. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval3.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval3.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval3.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval3.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval3.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval3.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval3.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval3.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval3.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval3.te  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
hdmapval3.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapval3N  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval3N
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . 3  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  ( S `  T )  =  ( S `  ( 0g `  U ) ) )
2 oteq3 3995 . . . 4  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  <. E , 
( J `  E
) ,  T >.  = 
<. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. )
32fveq2d 5732 . . 3  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  (
I `  <. E , 
( J `  E
) ,  T >. )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. ) )
41, 3eqeq12d 2450 . 2  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  (
( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )  <->  ( S `  ( 0g
`  U ) )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. ) ) )
5 hdmapval3.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 hdmapval3.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 hdmapval3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 hdmapval3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
9 hdmapval3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
12 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
13 hdmapval3.e . . . . . . 7  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
145, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 9dvheveccl 31910 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
1514eldifad 3332 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
16 hdmapval3.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
175, 6, 7, 8, 9, 15, 16dvh3dim 32244 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  V  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
1817adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E. x  e.  V  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )
19 hdmapval3.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
20 hdmapval3.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  C
)
21 hdmapval3.j . . . . 5  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
22 hdmapval3.i . . . . 5  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
23 hdmapval3.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
24 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ph )
2524, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
26 hdmapval3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
2724, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
2824, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  T  e.  V )
29 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  T  =/=  ( 0g `  U
) )
30 eldifsn 3927 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( T  e.  V  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) ) )
3128, 29, 30sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
32 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  x  e.  V )
33 simp3 959 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
345, 13, 6, 7, 8, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 31, 32, 33hdmapval3lemN 32638 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ( S `  T )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  T >. ) )
3534rexlimdv3a 2832 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. x  e.  V  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } )  ->  ( S `  T )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  T >. ) ) )
3618, 35mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( S `  T )  =  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  T >. ) )
37 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
385, 6, 12, 19, 37, 23, 9hdmapval0 32634 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( 0g `  U ) )  =  ( 0g `  C ) )
395, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 21, 9, 14hvmapcl2 32564 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  ( D 
\  { ( 0g
`  C ) } ) )
4039eldifad 3332 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  D )
415, 6, 7, 12, 19, 20, 37, 22, 9, 40, 15hdmap1val0 32598 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  ( 0g `  U )
>. )  =  ( 0g `  C ) )
4238, 41eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  ( 0g `  U ) )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. ) )
434, 36, 42pm2.61ne 2679 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706    \ cdif 3317   {csn 3814   {cpr 3815   <.cop 3817   <.cotp 3818    _I cid 4493    |` cres 4880   ` cfv 5454   Basecbs 13469   0gc0g 13723   LSpanclspn 16047   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   DVecHcdvh 31876  LCDualclcd 32384  HVMapchvm 32554  HDMap1chdma1 32590  HDMapchdma 32591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-fal 1329  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-undef 6543  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175  df-lsatoms 29774  df-lshyp 29775  df-lcv 29817  df-lfl 29856  df-lkr 29884  df-ldual 29922  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956  df-tgrp 31540  df-tendo 31552  df-edring 31554  df-dveca 31800  df-disoa 31827  df-dvech 31877  df-dib 31937  df-dic 31971  df-dih 32027  df-doch 32146  df-djh 32193  df-lcdual 32385  df-mapd 32423  df-hvmap 32555  df-hdmap1 32592  df-hdmap 32593
  Copyright terms: Public domain W3C validator