Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3N Unicode version

Theorem hdmapval3N 32031
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector  E. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hdmapval3.e  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
hdmapval3.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hdmapval3.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
hdmapval3.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
hdmapval3.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
hdmapval3.d  |-  D  =  ( Base `  C
)
hdmapval3.j  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
hdmapval3.i  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
hdmapval3.s  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
hdmapval3.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hdmapval3.te  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
hdmapval3.t  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
Assertion
Ref Expression
hdmapval3N  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem hdmapval3N
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . 3  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  ( S `  T )  =  ( S `  ( 0g `  U ) ) )
2 oteq3 3807 . . . 4  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  <. E , 
( J `  E
) ,  T >.  = 
<. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. )
32fveq2d 5529 . . 3  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  (
I `  <. E , 
( J `  E
) ,  T >. )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. ) )
41, 3eqeq12d 2297 . 2  |-  ( T  =  ( 0g `  U )  ->  (
( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )  <->  ( S `  ( 0g
`  U ) )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. ) ) )
5 hdmapval3.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 hdmapval3.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 hdmapval3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 hdmapval3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
9 hdmapval3.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
12 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
13 hdmapval3.e . . . . . . 7  |-  E  = 
<. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  (  _I  |`  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) >.
145, 10, 11, 6, 7, 12, 13, 9dvheveccl 31302 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  U ) } ) )
15 eldifi 3298 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  ->  E  e.  V
)
1614, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  V )
17 hdmapval3.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  V )
185, 6, 7, 8, 9, 16, 17dvh3dim 31636 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  V  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
1918adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  E. x  e.  V  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )
20 hdmapval3.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
21 hdmapval3.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  C
)
22 hdmapval3.j . . . . 5  |-  J  =  ( (HVMap `  K
) `  W )
23 hdmapval3.i . . . . 5  |-  I  =  ( (HDMap1 `  K
) `  W )
24 hdmapval3.s . . . . 5  |-  S  =  ( (HDMap `  K
) `  W )
25 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ph )
2625, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
27 hdmapval3.te . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
2825, 27syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ( N `  { T } )  =/=  ( N `  { E } ) )
2925, 17syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  T  e.  V )
30 simp1r 980 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  T  =/=  ( 0g `  U
) )
31 eldifsn 3749 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( V  \  { ( 0g `  U ) } )  <-> 
( T  e.  V  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) ) )
3229, 30, 31sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  T  e.  ( V  \  {
( 0g `  U
) } ) )
33 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  x  e.  V )
34 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } ) )
355, 13, 6, 7, 8, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 32, 33, 34hdmapval3lemN 32030 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U
) )  /\  x  e.  V  /\  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T }
) )  ->  ( S `  T )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  T >. ) )
3635rexlimdv3a 2669 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( E. x  e.  V  -.  x  e.  ( N `  { E ,  T } )  ->  ( S `  T )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  T >. ) ) )
3719, 36mpd 14 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  =/=  ( 0g `  U ) )  ->  ( S `  T )  =  ( I `  <. E , 
( J `  E
) ,  T >. ) )
38 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
395, 6, 12, 20, 38, 24, 9hdmapval0 32026 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S `  ( 0g `  U ) )  =  ( 0g `  C ) )
405, 6, 7, 12, 20, 21, 38, 22, 9, 14hvmapcl2 31956 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  ( D 
\  { ( 0g
`  C ) } ) )
41 eldifi 3298 . . . . 5  |-  ( ( J `  E )  e.  ( D  \  { ( 0g `  C ) } )  ->  ( J `  E )  e.  D
)
4240, 41syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J `  E
)  e.  D )
435, 6, 7, 12, 20, 21, 38, 23, 9, 42, 16hdmap1val0 31990 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I `  <. E ,  ( J `  E ) ,  ( 0g `  U )
>. )  =  ( 0g `  C ) )
4439, 43eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ph  ->  ( S `  ( 0g `  U ) )  =  ( I `  <. E ,  ( J `
 E ) ,  ( 0g `  U
) >. ) )
454, 37, 44pm2.61ne 2521 1  |-  ( ph  ->  ( S `  T
)  =  ( I `
 <. E ,  ( J `  E ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    \ cdif 3149   {csn 3640   {cpr 3641   <.cop 3643   <.cotp 3644    _I cid 4304    |` cres 4691   ` cfv 5255   Basecbs 13148   0gc0g 13400   LSpanclspn 15728   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   DVecHcdvh 31268  LCDualclcd 31776  HVMapchvm 31946  HDMap1chdma1 31982  HDMapchdma 31983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856  df-lsatoms 29166  df-lshyp 29167  df-lcv 29209  df-lfl 29248  df-lkr 29276  df-ldual 29314  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348  df-tgrp 30932  df-tendo 30944  df-edring 30946  df-dveca 31192  df-disoa 31219  df-dvech 31269  df-dib 31329  df-dic 31363  df-dih 31419  df-doch 31538  df-djh 31585  df-lcdual 31777  df-mapd 31815  df-hvmap 31947  df-hdmap1 31984  df-hdmap 31985
  Copyright terms: Public domain W3C validator