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Theorem hdrmp 25809
Description: Hard to describe. A picture can help. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
hdrmp  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )

Proof of Theorem hdrmp
StepHypRef Expression
1 uneq12 3337 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  =  (/)  /\  ( A  i^i  C )  =  (/) )  ->  ( ( A  i^i  D )  u.  ( A  i^i  C ) )  =  (
(/)  u.  (/) ) )
2 un0 3492 . . . . 5  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
3 indi 3428 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( D  u.  C ) )  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( A  i^i  C ) )
4 eqtr 2313 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  i^i  D )  u.  ( A  i^i  C ) )  =  ( (/)  u.  (/) )  /\  ( (/)  u.  (/) )  =  (/) )  ->  ( ( A  i^i  D )  u.  ( A  i^i  C ) )  =  (/) )
5 uncom 3332 . . . . . . . 8  |-  ( C  u.  D )  =  ( D  u.  C
)
65ineq2i 3380 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( C  u.  D ) )  =  ( A  i^i  ( D  u.  C )
)
7 eqtr 2313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  ( D  u.  C )
)  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( A  i^i  C ) )  /\  (
( A  i^i  D
)  u.  ( A  i^i  C ) )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  ( D  u.  C ) )  =  (/) )
8 eqtr 2313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  ( C  u.  D )
)  =  ( A  i^i  ( D  u.  C ) )  /\  ( A  i^i  ( D  u.  C )
)  =  (/) )  -> 
( A  i^i  ( C  u.  D )
)  =  (/) )
9 ineq2 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  ( A  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( A  i^i  ( C  u.  D )
) )
10 inabs 3413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  i^i  ( A  u.  B ) )  =  A
11 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  i^i  ( A  u.  B )
)  =  ( A  i^i  ( C  u.  D ) )  /\  ( A  i^i  ( C  u.  D )
)  =  (/) )  -> 
( A  i^i  ( A  u.  B )
)  =  (/) )
12 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  =  ( A  i^i  ( A  u.  B ) )  /\  ( A  i^i  ( A  u.  B )
)  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
13 neiopne 25154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
14 nonconne 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -.  ( A  =  (/)  /\  A  =/=  (/) )
1514pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  =  (/)  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
1615expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  =  (/)  ->  ( (
( A  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
1813, 17syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( A  =  (/)  ->  ( (
( A  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
1918com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( (
( A  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( A  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
2112, 20syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  =  ( A  i^i  ( A  u.  B ) )  /\  ( A  i^i  ( A  u.  B )
)  =  (/) )  -> 
( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  -> 
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
2221ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  ( A  i^i  ( A  u.  B
) )  ->  (
( A  i^i  ( A  u.  B )
)  =  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
2322eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  ( A  u.  B ) )  =  A  ->  (
( A  i^i  ( A  u.  B )
)  =  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
2410, 11, 23mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  ( A  u.  B )
)  =  ( A  i^i  ( C  u.  D ) )  /\  ( A  i^i  ( C  u.  D )
)  =  (/) )  -> 
( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  -> 
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
2524ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( A  i^i  ( C  u.  D
) )  ->  (
( A  i^i  ( C  u.  D )
)  =  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
2625com24 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( A  i^i  ( C  u.  D
) )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  ( C  u.  D )
)  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
279, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  ( C  u.  D )
)  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
2827com3l 75 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  ( C  u.  D )
)  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
29283imp 1145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( A  i^i  ( C  u.  D
) )  =  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
308, 29syl5com 26 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  ( C  u.  D )
)  =  ( A  i^i  ( D  u.  C ) )  /\  ( A  i^i  ( D  u.  C )
)  =  (/) )  -> 
( ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B
)  =  ( C  u.  D ) )  ->  ( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
316, 7, 30sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  ( D  u.  C )
)  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( A  i^i  C ) )  /\  (
( A  i^i  D
)  u.  ( A  i^i  C ) )  =  (/) )  ->  (
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
323, 4, 31sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  i^i  D )  u.  ( A  i^i  C ) )  =  ( (/)  u.  (/) )  /\  ( (/)  u.  (/) )  =  (/) )  ->  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
331, 2, 32sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  =  (/)  /\  ( A  i^i  C )  =  (/) )  ->  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
3433ex 423 . . 3  |-  ( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
35 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  u.  B
)  i^i  C )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
C ) )
36 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  u.  D )  i^i  C )  =  ( C  i^i  ( C  u.  D )
)
37 inabs 3413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  i^i  ( C  u.  D ) )  =  C
38 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( C  u.  D )  i^i  C
)  =  ( C  i^i  ( C  u.  D ) )  /\  ( C  i^i  ( C  u.  D )
)  =  C )  ->  ( ( C  u.  D )  i^i 
C )  =  C )
39 indir 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  C )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )
40 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  u.  B )  i^i  C
)  =  ( ( C  u.  D )  i^i  C )  /\  ( ( C  u.  D )  i^i  C
)  =  C )  ->  ( ( A  u.  B )  i^i 
C )  =  C )
41 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i 
C )  /\  (
( A  u.  B
)  i^i  C )  =  C )  ->  (
( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C )
42 uneq1 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  (
(/)  u.  ( B  i^i  C ) ) )
43 uncom 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (/)  u.  ( B  i^i  C
) )  =  ( ( B  i^i  C
)  u.  (/) )
44 un0 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  i^i  C )  u.  (/) )  =  ( B  i^i  C )
45 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (/)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( ( B  i^i  C )  u.  (/) )  /\  (
( B  i^i  C
)  u.  (/) )  =  ( B  i^i  C
) )  ->  ( (/) 
u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( B  i^i  C ) )
46 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  C ) )  /\  ( (/)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  (
( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( B  i^i  C ) )
47 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( B  i^i  C
)  =  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  /\  (
( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C )  -> 
( B  i^i  C
)  =  C )
48 pm13.181 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( B  i^i  C
)  =  C  /\  C  =/=  (/) )  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) )
4948ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( B  i^i  C )  =  C  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
5047, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( B  i^i  C
)  =  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  /\  (
( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C )  -> 
( C  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
5150ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  i^i  C )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C
) )  ->  (
( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
5251eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( B  i^i  C )  ->  ( (
( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
5346, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  C ) )  /\  ( (/)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( B  i^i  C ) )  ->  (
( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
5453expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
(/)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( B  i^i  C
)  ->  ( (
( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) )
5545, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( (/)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( ( B  i^i  C )  u.  (/) )  /\  (
( B  i^i  C
)  u.  (/) )  =  ( B  i^i  C
) )  ->  (
( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) )
5643, 44, 55mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  C ) )  ->  ( ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
5742, 56syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
5857com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  C  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
5941, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i 
C )  /\  (
( A  u.  B
)  i^i  C )  =  C )  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
6059ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  u.  ( B  i^i  C ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i 
C )  ->  (
( ( A  u.  B )  i^i  C
)  =  C  -> 
( C  =/=  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) )
6160eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  u.  B
)  i^i  C )  =  ( ( A  i^i  C )  u.  ( B  i^i  C
) )  ->  (
( ( A  u.  B )  i^i  C
)  =  C  -> 
( C  =/=  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) )
6239, 40, 61mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  u.  B )  i^i  C
)  =  ( ( C  u.  D )  i^i  C )  /\  ( ( C  u.  D )  i^i  C
)  =  C )  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
6362expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  u.  D
)  i^i  C )  =  C  ->  ( ( ( A  u.  B
)  i^i  C )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
C )  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) )
6438, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( C  u.  D )  i^i  C
)  =  ( C  i^i  ( C  u.  D ) )  /\  ( C  i^i  ( C  u.  D )
)  =  C )  ->  ( ( ( A  u.  B )  i^i  C )  =  ( ( C  u.  D )  i^i  C
)  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) )
6536, 37, 64mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  u.  B
)  i^i  C )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
C )  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
6635, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  ( C  =/=  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
6766com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  =/=  (/)  ->  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  u.  B
)  =  ( C  u.  D )  -> 
( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
6968imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
70693adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) ) )
7170impcom 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  =  (/)  /\  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) )
72713adant1 973 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( A  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B
)  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) )
73 eqss 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  <->  ( ( A  u.  B )  C_  ( C  u.  D
)  /\  ( C  u.  D )  C_  ( A  u.  B )
) )
74 unss 3362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  /\  B  C_  ( C  u.  D
) )  <->  ( A  u.  B )  C_  ( C  u.  D )
)
75 disjssun 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A 
C_  ( C  u.  D )  <->  A  C_  D
) )
76 bi1 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  <->  A  C_  D
)  ->  ( A  C_  ( C  u.  D
)  ->  A  C_  D
) )
77 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
78 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  A  /\  A  C_  D )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  D )
79 inidm 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( A  i^i  B )
80 ssrin 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  D  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  ( D  i^i  ( A  i^i  B ) ) )
81 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( A  i^i  B
)  ->  ( (
( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  ( D  i^i  ( A  i^i  B ) )  <-> 
( A  i^i  B
)  C_  ( D  i^i  ( A  i^i  B
) ) ) )
82 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  D )  =  ( D  i^i  ( A  i^i  B ) )
83 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( D  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  i^i  B )  i^i 
D )  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  ( D  i^i  ( A  i^i  B
) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )
) )
84 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  C_  ( ( A  i^i  B )  i^i  D )  <-> 
( A  i^i  B
)  C_  (/) ) )
85 ss0 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
8684, 85syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  C_  ( ( A  i^i  B )  i^i  D )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) )
8786com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  ( ( A  i^i  B )  i^i 
D )  ->  (
( ( A  i^i  B )  i^i  D )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) )
8883, 87syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( D  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  i^i  B )  i^i 
D )  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  ( D  i^i  ( A  i^i  B
) )  ->  (
( ( A  i^i  B )  i^i  D )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) ) )
8988eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  D )  =  ( D  i^i  ( A  i^i  B ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  C_  ( D  i^i  ( A  i^i  B ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  i^i  D )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) ) )
9082, 89ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  ( D  i^i  ( A  i^i  B ) )  ->  ( (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) )
9181, 90syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( A  i^i  B
)  ->  ( (
( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  ( D  i^i  ( A  i^i  B ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  i^i  D )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) ) )
9279, 80, 91mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  D  ->  (
( ( A  i^i  B )  i^i  D )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) )
9392necon3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  D  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) )
9493a1dd 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  D  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
9594a1dd 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  D  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
9678, 95syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  A  /\  A  C_  D )  -> 
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
9777, 96mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  D  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
9876, 97syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  <->  A  C_  D
)  ->  ( A  C_  ( C  u.  D
)  ->  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
99983impd 1165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  <->  A  C_  D
)  ->  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  /\  ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) ) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
D )  =/=  (/) ) ) )
10075, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  /\  ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) ) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
D )  =/=  (/) ) ) )
101100com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  /\  ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) ) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
D )  =/=  (/) ) ) )
1021013exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  /\  B  C_  ( C  u.  D
) )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
10474, 103sylbir 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( C  u.  D )  /\  ( C  u.  D )  C_  ( A  u.  B
) )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
10673, 105sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
107106com3l 75 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
1081073imp 1145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( -.  ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
D )  =/=  (/) ) ) )
109108com3l 75 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
1101093imp 1145 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( A  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B
)  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
D )  =/=  (/) )
111 inass 3392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  D )  =  ( A  i^i  ( B  i^i  D ) )
112 ineq2 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( A  i^i  ( B  i^i  D ) )  =  ( A  i^i  (/) ) )
113 in0 3493 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
114112, 113syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( A  i^i  ( B  i^i  D ) )  =  (/) )
115111, 114syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i  D )  =  (/) )
116115necon3i 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  D )  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) )
117110, 116syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( A  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B
)  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) )
11872, 117jca 518 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( A  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B
)  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
119118olcd 382 . . . 4  |-  ( ( -.  ( A  i^i  D )  =  (/)  /\  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B
)  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( (
( A  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
1201193exp 1150 . . 3  |-  ( -.  ( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
12134, 120pm2.61i 156 . 2  |-  ( ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
122 disjssun 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( A 
C_  ( D  u.  C )  <->  A  C_  C
) )
123 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  u.  D )  =  ( D  u.  C )  ->  ( A  C_  ( C  u.  D )  <->  A  C_  ( D  u.  C )
) )
124 bi1 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  C_  ( D  u.  C )  <->  A  C_  C
)  ->  ( A  C_  ( D  u.  C
)  ->  A  C_  C
) )
125 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  A  /\  A  C_  C )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  C )
126 ssrin 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  C  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B ) ) )
127 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( A  i^i  B
)  ->  ( (
( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  <-> 
( A  i^i  B
)  C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B
) ) ) )
128 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  i^i  B
)  i^i  C )
129 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  i^i  B )  i^i 
C )  /\  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =  (/) )  ->  ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )
130 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B ) 
C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  <->  ( A  i^i  B )  C_  (/) ) )
131130, 85syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B ) 
C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) )
132129, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  i^i  B )  i^i 
C )  /\  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =  (/) )  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) )
133132ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  i^i  B )  i^i 
C )  ->  (
( ( A  i^i  B )  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B ) 
C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) ) )
134133com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( A  i^i  B )  i^i 
C )  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B
) )  ->  (
( ( A  i^i  B )  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) ) )
135128, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  ->  ( (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) )
136127, 135syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  ( A  i^i  B
)  ->  ( (
( A  i^i  B
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  ( C  i^i  ( A  i^i  B ) )  ->  ( ( ( A  i^i  B )  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) ) )
13779, 126, 136mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  C  ->  (
( ( A  i^i  B )  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) ) )
138137necon3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  C  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) )
139138a1dd 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  C  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
140139a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  B
)  C_  C  ->  ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) )
141125, 140syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  A  /\  A  C_  C )  -> 
( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  -> 
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) )
14277, 141mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) )
143124, 142syl6com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  ( D  u.  C )  ->  (
( A  C_  ( D  u.  C )  <->  A 
C_  C )  -> 
( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  -> 
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) ) )
144143com24 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  ( D  u.  C )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  C_  ( D  u.  C )  <->  A 
C_  C )  -> 
( -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
C )  =/=  (/) ) ) ) ) )
145123, 144syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  u.  D )  =  ( D  u.  C )  ->  ( A  C_  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  C_  ( D  u.  C )  <->  A 
C_  C )  -> 
( -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
C )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
1465, 145ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  C_  ( D  u.  C )  <->  A 
C_  C )  -> 
( -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
C )  =/=  (/) ) ) ) ) )
1471463imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  /\  ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) ) )  ->  ( ( A 
C_  ( D  u.  C )  <->  A  C_  C
)  ->  ( -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
148122, 147syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  /\  ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) ) )  ->  ( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
C )  =/=  (/) ) ) )
1491483exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) ) )
150149adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ( C  u.  D )  /\  B  C_  ( C  u.  D
) )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) ) )
15174, 150sylbir 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) ) )
152151adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ( C  u.  D )  /\  ( C  u.  D )  C_  ( A  u.  B
) )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) ) )
15373, 152sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) ) )
154153com3l 75 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) ) ) )
1551543imp 1145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
156155com3l 75 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  i^i  C )  =/=  (/) ) ) )
1571563imp 1145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  =  (/)  /\  -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i 
C )  =/=  (/) )
158 inass 3392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  C )  =  ( A  i^i  ( B  i^i  C ) )
159 ineq2 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  i^i  ( B  i^i  C ) )  =  ( A  i^i  (/) ) )
160159, 113syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  C )  =  (/)  ->  ( A  i^i  ( B  i^i  C ) )  =  (/) )
161158, 160syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  B )  i^i  C )  =  (/) )
162161necon3i 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  i^i  C )  =/=  (/)  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) )
163157, 162syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  =  (/)  /\  -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( B  i^i  C )  =/=  (/) )
164 indir 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  D )  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )
165 ineq1 3376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  u.  B
)  i^i  D )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D ) )
166 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i 
D )  /\  (
( A  u.  B
)  i^i  D )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D ) )  -> 
( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D ) )
167 uneq1 3335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  (
(/)  u.  ( B  i^i  D ) ) )
168 uncom 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u.  ( B  i^i  D
) )  =  ( ( B  i^i  D
)  u.  (/) )
169 un0 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  i^i  D )  u.  (/) )  =  ( B  i^i  D )
170 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (/)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( B  i^i  D )  u.  (/) )  /\  (
( B  i^i  D
)  u.  (/) )  =  ( B  i^i  D
) )  ->  ( (/) 
u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( B  i^i  D ) )
171 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  D ) )  /\  ( (/)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( B  i^i  D ) )  ->  (
( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( B  i^i  D ) )
172 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  /\  (
( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D ) )  -> 
( B  i^i  D
)  =  ( ( C  u.  D )  i^i  D ) )
173 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( C  u.  D )  i^i  D )  =  ( D  i^i  ( C  u.  D )
)
174 inabs2 25241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( D  i^i  ( C  u.  D ) )  =  D
175 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( C  u.  D )  i^i  D
)  =  ( D  i^i  ( C  u.  D ) )  /\  ( D  i^i  ( C  u.  D )
)  =  D )  ->  ( ( C  u.  D )  i^i 
D )  =  D )
176 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  ( ( C  u.  D )  i^i  D )  /\  ( ( C  u.  D )  i^i  D
)  =  D )  ->  ( B  i^i  D )  =  D )
177 pm13.181 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  D  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) )
178177expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( D  =/=  (/)  ->  ( ( B  i^i  D )  =  D  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
179178a1dd 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( D  =/=  (/)  ->  ( ( B  i^i  D )  =  D  ->  ( -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
180179adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( B  i^i  D
)  =  D  -> 
( -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
181180com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  i^i  D )  =  D  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
182181a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( B  i^i  D )  =  D  ->  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
183176, 182syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  ( ( C  u.  D )  i^i  D )  /\  ( ( C  u.  D )  i^i  D
)  =  D )  ->  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
184183expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( C  u.  D
)  i^i  D )  =  D  ->  ( ( B  i^i  D )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
185175, 184syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( C  u.  D )  i^i  D
)  =  ( D  i^i  ( C  u.  D ) )  /\  ( D  i^i  ( C  u.  D )
)  =  D )  ->  ( ( B  i^i  D )  =  ( ( C  u.  D )  i^i  D
)  ->  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
186173, 174, 185mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  i^i  D )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
187172, 186syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  i^i  D
)  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  /\  (
( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
188187ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  i^i  D )  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D
) )  ->  (
( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
189188eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( B  i^i  D )  ->  ( (
( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
190171, 189syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  D ) )  /\  ( (/)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( B  i^i  D ) )  ->  (
( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
191190expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
(/)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( B  i^i  D
)  ->  ( (
( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  D ) )  ->  ( ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D
)  i^i  D )  ->  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
192170, 191syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( (/)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( B  i^i  D )  u.  (/) )  /\  (
( B  i^i  D
)  u.  (/) )  =  ( B  i^i  D
) )  ->  (
( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  D ) )  ->  ( ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D
)  i^i  D )  ->  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
193168, 169, 192mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( (/)  u.  ( B  i^i  D ) )  ->  ( ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D
)  i^i  D )  ->  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
194167, 193syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
195194com4l 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
196166, 195syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i 
D )  /\  (
( A  u.  B
)  i^i  D )  =  ( ( C  u.  D )  i^i 
D ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
197196ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  u.  ( B  i^i  D ) )  =  ( ( A  u.  B )  i^i 
D )  ->  (
( ( A  u.  B )  i^i  D
)  =  ( ( C  u.  D )  i^i  D )  -> 
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
198197eqcoms 2299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  u.  B
)  i^i  D )  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( B  i^i  D
) )  ->  (
( ( A  u.  B )  i^i  D
)  =  ( ( C  u.  D )  i^i  D )  -> 
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) ) )
199164, 165, 198mpsyl 59 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  ->  (
( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
200199com3l 75 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D )  ->  (
( A  i^i  D
)  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
2012003imp 1145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
202201com3l 75 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) ) ) )
2032023imp 1145 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  =  (/)  /\  -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( B  i^i  D )  =/=  (/) )
204163, 203jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  =  (/)  /\  -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
205204olcd 382 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  D
)  =  (/)  /\  -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  /\  (
( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) ) )  ->  ( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
2062053exp 1150 . . 3  |-  ( ( A  i^i  D )  =  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
207 df-ne 2461 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  <->  -.  ( A  i^i  C )  =  (/) )
208 orc 374 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  ->  ( ( ( A  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
209208ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  ->  ( ( A  i^i  D )  =/=  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  (
( B  i^i  C
)  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
210209a1dd 42 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  ->  ( ( A  i^i  D )  =/=  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
211207, 210sylbir 204 . . . 4  |-  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( A  i^i  D
)  =/=  (/)  ->  (
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
212211com12 27 . . 3  |-  ( ( A  i^i  D )  =/=  (/)  ->  ( -.  ( A  i^i  C )  =  (/)  ->  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) ) )
213206, 212pm2.61ine 2535 . 2  |-  ( -.  ( A  i^i  C
)  =  (/)  ->  (
( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) ) )
214121, 213pm2.61i 156 1  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =/=  (/)  /\  ( C  =/=  (/)  /\  D  =/=  (/) )  /\  ( A  u.  B )  =  ( C  u.  D ) )  -> 
( ( ( A  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( A  i^i  D )  =/=  (/) )  \/  ( ( B  i^i  C )  =/=  (/)  /\  ( B  i^i  D )  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    =/= wne 2459    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469
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