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Theorem heibor1 26534
Description: One half of heibor 26545, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 18743 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all  r-balls is an open cover of  X, so finitely many cover  X. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
heibor1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )

Proof of Theorem heibor1
Dummy variables  x  y  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  J  e.  Comp )
4 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x  e.  ( Cau `  D ) )
5 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x : NN --> X )
61, 2, 3, 4, 5heibor1lem 26533 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
76expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  x  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
87ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  A. x  e.  ( Cau `  D
) ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
9 nnuz 10263 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 10 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  1  e.  ZZ )
12 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
139, 1, 11, 12iscmet3 18719 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  <->  A. x  e.  ( Cau `  D
) ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
148, 13mpbird 223 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
15 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  J  e.  Comp )
16 metxmet 17899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
17 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  z  e.  X )
18 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
191blopn 18046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  D ) r )  e.  J )
2016, 17, 18, 19syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e.  J )
21203com23 1157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+  /\  z  e.  X )  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e.  J )
22213expa 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( z
( ball `  D )
r )  e.  J
)
23 eleq1a 2352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z ( ball `  D
) r )  e.  J  ->  ( y  =  ( z (
ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y  =  ( z (
ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2524rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2625adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r )  ->  y  e.  J
) )
2726abssdv 3247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  C_  J )
2816ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
291mopnuni 17987 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =  U. J )
31 blcntr 17964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D
) r ) )
3216, 31syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
33323com23 1157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
34333expa 1151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
35 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z ( ball `  D
) r )  e. 
_V
3635elabrex 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e. 
{ y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
3736adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( z
( ball `  D )
r )  e.  {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
38 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( z ( ball `  D
) r )  /\  ( z ( ball `  D ) r )  e.  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } )  ->  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
3934, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4039ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4140adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )
42 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ z X
43 nfre1 2599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r )
4443nfab 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ z { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }
4544nfuni 3833 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ z U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }
4642, 45dfss3f 3172 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
C_  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  <->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4741, 46sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  C_  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
4830, 47eqsstr3d 3213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. J  C_  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
49 uniss 3848 . . . . . . . . 9  |-  ( { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  C_  J  ->  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  C_  U. J )
5027, 49syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  C_  U. J )
5148, 50eqssd 3196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. J  =  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
52 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
5352cmpcov 17116 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  C_  J  /\  U. J  =  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )  ->  E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  i^i  Fin ) U. J  =  U. x
)
5415, 27, 51, 53syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  i^i  Fin ) U. J  = 
U. x )
55 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  x  e. 
Fin ) )
56 ancom 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  x  e. 
Fin )  <->  ( x  e.  Fin  /\  x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } ) )
5755, 56bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } ) )
5857anbi1i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( (
x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )  /\  U. J  =  U. x ) )
59 anass 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )  /\  U. J  =  U. x
)  <->  ( x  e. 
Fin  /\  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) ) )
6058, 59bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( x  e.  Fin  /\  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x ) ) )
6160rexbii2 2572 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin ) U. J  = 
U. x  <->  E. x  e.  Fin  ( x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) )
6254, 61sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Fin  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) )
63 ancom 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( U. J  =  U. x  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } ) )
64 eqcom 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. x  =  X  <->  X  =  U. x )
6530eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( X  = 
U. x  <->  U. J  = 
U. x ) )
6664, 65syl5rbb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( U. J  =  U. x  <->  U. x  =  X ) )
6766anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( U. J  =  U. x  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )  <-> 
( U. x  =  X  /\  x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } ) ) )
6863, 67syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x )  <->  ( U. x  =  X  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } ) ) )
69 elpwi 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  ->  x  C_  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )
70 ssabral 3244 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) )
7169, 70sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) )
7271anim2i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( U. x  =  X  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )  ->  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) )
7368, 72syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x )  -> 
( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7473reximdv 2654 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  Fin  ( x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
)  ->  E. x  e.  Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7562, 74mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) ) )
7675ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e. 
Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) )
77 istotbnd 26493 . . 3  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e. 
Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7812, 76, 77sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( TotBnd `  X )
)
7914, 78jca 518 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738   RR*cxr 8866   NNcn 9746   ZZcz 10024   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372   ~~> tclm 16956   Compccmp 17113   Caucca 18679   CMetcms 18680   TotBndctotbnd 26490
This theorem is referenced by:  heibor  26545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lm 16959  df-cmp 17114  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-totbnd 26492
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