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Theorem heibor1 26212
Description: One half of heibor 26223, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 19143 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all  r-balls is an open cover of  X, so finitely many cover  X. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
heibor1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )

Proof of Theorem heibor1
Dummy variables  x  y  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  J  e.  Comp )
4 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x  e.  ( Cau `  D ) )
5 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x : NN --> X )
61, 2, 3, 4, 5heibor1lem 26211 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  ( Cau `  D
)  /\  x : NN
--> X ) )  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
76expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  x  e.  ( Cau `  D ) )  ->  ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
87ralrimiva 2734 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  A. x  e.  ( Cau `  D
) ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
9 nnuz 10455 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1z 10245 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  1  e.  ZZ )
12 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
139, 1, 11, 12iscmet3 19119 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  <->  A. x  e.  ( Cau `  D
) ( x : NN --> X  ->  x  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) ) )
148, 13mpbird 224 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
15 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  J  e.  Comp )
16 metxmet 18275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
17 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  z  e.  X )
18 rpxr 10553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
191blopn 18422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  D ) r )  e.  J )
2016, 17, 18, 19syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e.  J )
21203com23 1159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+  /\  z  e.  X )  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e.  J )
22213expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( z
( ball `  D )
r )  e.  J
)
23 eleq1a 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z ( ball `  D
) r )  e.  J  ->  ( y  =  ( z (
ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y  =  ( z (
ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2524rexlimdva 2775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r )  ->  y  e.  J ) )
2625adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r )  ->  y  e.  J
) )
2726abssdv 3362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  C_  J )
2816ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
291mopnuni 18363 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  =  U. J )
31 blcntr 18340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D
) r ) )
3216, 31syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  r  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
33323com23 1159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
34333expa 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  ( z ( ball `  D ) r ) )
35 ovex 6047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z ( ball `  D
) r )  e. 
_V
3635elabrex 5926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  (
z ( ball `  D
) r )  e. 
{ y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
3736adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( z
( ball `  D )
r )  e.  {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
38 elunii 3964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  ( z ( ball `  D
) r )  /\  ( z ( ball `  D ) r )  e.  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } )  ->  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
3934, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4039ralrimiva 2734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4140adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )
42 nfcv 2525 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ z X
43 nfre1 2707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r )
4443nfab 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ z { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }
4544nfuni 3965 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ z U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }
4642, 45dfss3f 3285 . . . . . . . . . 10  |-  ( X 
C_  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  <->  A. z  e.  X  z  e.  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
4741, 46sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  X  C_  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
4830, 47eqsstr3d 3328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. J  C_  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )
4927unissd 3983 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  C_  U. J )
5048, 49eqssd 3310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  U. J  =  U. { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )
51 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
5251cmpcov 17376 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  C_  J  /\  U. J  =  U. {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )  ->  E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  i^i  Fin ) U. J  =  U. x
)
5315, 27, 50, 52syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  i^i  Fin ) U. J  = 
U. x )
54 elin 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  x  e. 
Fin ) )
55 ancom 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  x  e. 
Fin )  <->  ( x  e.  Fin  /\  x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } ) )
5654, 55bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } ) )
5756anbi1i 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( (
x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )  /\  U. J  =  U. x ) )
58 anass 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Fin  /\  x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) } )  /\  U. J  =  U. x
)  <->  ( x  e. 
Fin  /\  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) ) )
5957, 58bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( x  e.  Fin  /\  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x ) ) )
6059rexbii2 2680 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  ( ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  i^i  Fin ) U. J  = 
U. x  <->  E. x  e.  Fin  ( x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) )
6153, 60sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Fin  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
) )
62 ancom 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P {
y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) }  /\  U. J  =  U. x )  <->  ( U. J  =  U. x  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } ) )
63 eqcom 2391 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. x  =  X  <->  X  =  U. x )
6430eqeq1d 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( X  = 
U. x  <->  U. J  = 
U. x ) )
6563, 64syl5rbb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( U. J  =  U. x  <->  U. x  =  X ) )
6665anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( U. J  =  U. x  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )  <-> 
( U. x  =  X  /\  x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) } ) ) )
6762, 66syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x )  <->  ( U. x  =  X  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } ) ) )
68 elpwi 3752 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  ->  x  C_  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) } )
69 ssabral 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  <->  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) )
7068, 69sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  ->  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) )
7170anim2i 553 . . . . . . 7  |-  ( ( U. x  =  X  /\  x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z (
ball `  D )
r ) } )  ->  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) )
7267, 71syl6bi 220 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  ~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) }  /\  U. J  = 
U. x )  -> 
( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7372reximdv 2762 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. x  e.  Fin  ( x  e. 
~P { y  |  E. z  e.  X  y  =  ( z
( ball `  D )
r ) }  /\  U. J  =  U. x
)  ->  E. x  e.  Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7461, 73mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D
) r ) ) )
7574ralrimiva 2734 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  A. r  e.  RR+  E. x  e. 
Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) )
76 istotbnd 26171 . . 3  |-  ( D  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( D  e.  ( Met `  X
)  /\  A. r  e.  RR+  E. x  e. 
Fin  ( U. x  =  X  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  X  y  =  ( z ( ball `  D ) r ) ) ) )
7712, 75, 76sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  D  e.  ( TotBnd `  X )
)
7814, 77jca 519 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  J  e.  Comp )  ->  ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  D  e.  ( TotBnd `  X )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2375   A.wral 2651   E.wrex 2652    i^i cin 3264    C_ wss 3265   ~Pcpw 3744   U.cuni 3959   dom cdm 4820   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Fincfn 7047   1c1 8926   RR*cxr 9054   NNcn 9934   ZZcz 10216   RR+crp 10546   * Metcxmt 16614   Metcme 16615   ballcbl 16616   MetOpencmopn 16619   ~~> tclm 17214   Compccmp 17373   Caucca 19079   CMetcms 19080   TotBndctotbnd 26168
This theorem is referenced by:  heibor  26223
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cc 8250  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ico 10856  df-fz 10978  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-rest 13579  df-topgen 13596  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lm 17217  df-cmp 17374  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-cfil 19081  df-cau 19082  df-cmet 19083  df-totbnd 26170
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