Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heibor1 Structured version   Unicode version

Theorem heibor1 26473
 Description: One half of heibor 26484, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 19260 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all -balls is an open cover of , so finitely many cover . (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
heibor.1
Assertion
Ref Expression
heibor1

Proof of Theorem heibor1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.1 . . . . . 6
2 simpll 731 . . . . . 6
3 simplr 732 . . . . . 6
4 simprl 733 . . . . . 6
5 simprr 734 . . . . . 6
61, 2, 3, 4, 5heibor1lem 26472 . . . . 5
76expr 599 . . . 4
87ralrimiva 2781 . . 3
9 nnuz 10511 . . . 4
10 1z 10301 . . . . 5
1110a1i 11 . . . 4
12 simpl 444 . . . 4
139, 1, 11, 12iscmet3 19236 . . 3
148, 13mpbird 224 . 2
15 simplr 732 . . . . . . 7
16 metxmet 18354 . . . . . . . . . . . . . 14
17 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14
18 rpxr 10609 . . . . . . . . . . . . . 14
191blopn 18520 . . . . . . . . . . . . . 14
2016, 17, 18, 19syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . 13
21203com23 1159 . . . . . . . . . . . 12
22213expa 1153 . . . . . . . . . . 11
23 eleq1a 2504 . . . . . . . . . . 11
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
2524rexlimdva 2822 . . . . . . . . 9
2625adantlr 696 . . . . . . . 8
2726abssdv 3409 . . . . . . 7
2816ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
291mopnuni 18461 . . . . . . . . . 10
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9
31 blcntr 18433 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3216, 31syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15
33323com23 1159 . . . . . . . . . . . . . 14
34333expa 1153 . . . . . . . . . . . . 13
35 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635elabrex 5977 . . . . . . . . . . . . . 14
3736adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
38 elunii 4012 . . . . . . . . . . . . 13
3934, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
4039ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11
4140adantlr 696 . . . . . . . . . 10
42 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11
43 nfre1 2754 . . . . . . . . . . . . 13
4443nfab 2575 . . . . . . . . . . . 12
4544nfuni 4013 . . . . . . . . . . 11
4642, 45dfss3f 3332 . . . . . . . . . 10
4741, 46sylibr 204 . . . . . . . . 9
4830, 47eqsstr3d 3375 . . . . . . . 8
4927unissd 4031 . . . . . . . 8
5048, 49eqssd 3357 . . . . . . 7
51 eqid 2435 . . . . . . . 8
5251cmpcov 17442 . . . . . . 7
5315, 27, 50, 52syl3anc 1184 . . . . . 6
54 elin 3522 . . . . . . . . . 10
55 ancom 438 . . . . . . . . . 10
5654, 55bitri 241 . . . . . . . . 9
5756anbi1i 677 . . . . . . . 8
58 anass 631 . . . . . . . 8
5957, 58bitri 241 . . . . . . 7
6059rexbii2 2726 . . . . . 6
6153, 60sylib 189 . . . . 5
62 ancom 438 . . . . . . . 8
63 eqcom 2437 . . . . . . . . . 10
6430eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10
6563, 64syl5rbb 250 . . . . . . . . 9
6665anbi1d 686 . . . . . . . 8
6762, 66syl5bb 249 . . . . . . 7
68 elpwi 3799 . . . . . . . . 9
69 ssabral 3406 . . . . . . . . 9
7068, 69sylib 189 . . . . . . . 8
7170anim2i 553 . . . . . . 7
7267, 71syl6bi 220 . . . . . 6
7372reximdv 2809 . . . . 5
7461, 73mpd 15 . . . 4
7574ralrimiva 2781 . . 3
76 istotbnd 26432 . . 3
7712, 75, 76sylanbrc 646 . 2
7814, 77jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697  wrex 2698   cin 3311   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007   cdm 4870  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  c1 8981  cxr 9109  cn 9990  cz 10272  crp 10602  cxmt 16676  cme 16677  cbl 16678  cmopn 16681  clm 17280  ccmp 17439  cca 19196  cms 19197  ctotbnd 26429 This theorem is referenced by:  heibor  26484 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cc 8305  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-acn 7819  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ico 10912  df-fz 11034  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-rest 13640  df-topgen 13657  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lm 17283  df-cmp 17440  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-cfil 19198  df-cau 19199  df-cmet 19200  df-totbnd 26431
 Copyright terms: Public domain W3C validator