Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem1 Structured version   Unicode version

Theorem heiborlem1 26520
 Description: Lemma for heibor 26530. We work with a fixed open cover throughout. The set is the set of all subsets of that admit no finite subcover of . (We wish to prove that is empty.) If a set has no finite subcover, then any finite cover of must contain a set that also has no finite subcover. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1
heibor.3
heiborlem1.4
Assertion
Ref Expression
heiborlem1
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem heiborlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heiborlem1.4 . . . . . . . 8
2 sseq1 3369 . . . . . . . . . 10
32rexbidv 2726 . . . . . . . . 9
43notbid 286 . . . . . . . 8
5 heibor.3 . . . . . . . 8
61, 4, 5elab2 3085 . . . . . . 7
76con2bii 323 . . . . . 6
87ralbii 2729 . . . . 5
9 ralnex 2715 . . . . 5
108, 9bitr2i 242 . . . 4
11 unieq 4024 . . . . . . . . 9
1211sseq2d 3376 . . . . . . . 8
1312ac6sfi 7351 . . . . . . 7
1413ex 424 . . . . . 6
1514adantr 452 . . . . 5
16 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . 12
1716rexbidv 2726 . . . . . . . . . . 11
1817notbid 286 . . . . . . . . . 10
1918, 5elab2g 3084 . . . . . . . . 9
2019ibi 233 . . . . . . . 8
21 frn 5597 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14
23 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 23syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . 13
25 sspwuni 4176 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25sylib 189 . . . . . . . . . . . 12
27 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827rnex 5133 . . . . . . . . . . . . . 14
2928uniex 4705 . . . . . . . . . . . . 13
3029elpw 3805 . . . . . . . . . . . 12
3126, 30sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
32 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14
34 dffn4 5659 . . . . . . . . . . . . . 14
3533, 34sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13
36 fofi 7392 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36syldan 457 . . . . . . . . . . . 12
38 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . 13
3922, 38syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . 12
40 unifi 7395 . . . . . . . . . . . 12
4137, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
42 elin 3530 . . . . . . . . . . 11
4331, 41, 42sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10
4443adantlr 696 . . . . . . . . 9
45 simplr 732 . . . . . . . . . 10
46 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4732, 46sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 elssuni 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 uniss 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5148, 49, 503syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15
52 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . . 15
5351, 52syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14
5453ralimdva 2784 . . . . . . . . . . . . 13
5554impr 603 . . . . . . . . . . . 12
56 iunss 4132 . . . . . . . . . . . 12
5755, 56sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
5857adantlr 696 . . . . . . . . . 10
5945, 58sstrd 3358 . . . . . . . . 9
60 unieq 4024 . . . . . . . . . . 11
6160sseq2d 3376 . . . . . . . . . 10
6261rspcev 3052 . . . . . . . . 9
6344, 59, 62syl2anc 643 . . . . . . . 8
6420, 63nsyl3 113 . . . . . . 7
6564ex 424 . . . . . 6
6665exlimdv 1646 . . . . 5
6715, 66syld 42 . . . 4
6810, 67syl5bi 209 . . 3
6968con4d 99 . 2
70693impia 1150 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  cuni 4015  ciun 4093   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  wfo 5452  cfv 5454  cfn 7109  cmopn 16691 This theorem is referenced by:  heiborlem3  26522  heiborlem10  26529 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-fin 7113
 Copyright terms: Public domain W3C validator