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Theorem heiborlem1 26535
Description: Lemma for heibor 26545. We work with a fixed open cover  U throughout. The set  K is the set of all subsets of  X that admit no finite subcover of  U. (We wish to prove that  K is empty.) If a set  C has no finite subcover, then any finite cover of  C must contain a set that also has no finite subcover. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor.3  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
heiborlem1.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
heiborlem1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B  /\  C  e.  K )  ->  E. x  e.  A  B  e.  K )
Distinct variable groups:    x, A    x, u, v, D    u, B, v    u, J, v, x    u, U, v, x    u, C, v   
x, K
Allowed substitution hints:    A( v, u)    B( x)    C( x)    K( v, u)

Proof of Theorem heiborlem1
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heiborlem1.4 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2 sseq1 3199 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  B  ->  (
u  C_  U. v  <->  B 
C_  U. v ) )
32rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  B  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v ) )
43notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  B  ->  ( -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) u  C_  U. v  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v
) )
5 heibor.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
61, 4, 5elab2 2917 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v
)
76con2bii 322 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  <->  -.  B  e.  K )
87ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B 
C_  U. v  <->  A. x  e.  A  -.  B  e.  K )
9 ralnex 2553 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  -.  B  e.  K  <->  -.  E. x  e.  A  B  e.  K )
108, 9bitr2i 241 . . . 4  |-  ( -. 
E. x  e.  A  B  e.  K  <->  A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v
)
11 unieq 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( t `  x )  ->  U. v  =  U. ( t `  x ) )
1211sseq2d 3206 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( t `  x )  ->  ( B  C_  U. v  <->  B  C_  U. (
t `  x )
) )
1312ac6sfi 7101 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B 
C_  U. v )  ->  E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x ) ) )
1413ex 423 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  ->  E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x ) ) ) )
1514adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  ->  E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. ( t `
 x ) ) ) )
16 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  C  ->  (
u  C_  U. v  <->  C 
C_  U. v ) )
1716rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  C  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v ) )
1817notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  C  ->  ( -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) u  C_  U. v  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
) )
1918, 5elab2g 2916 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  K  ->  ( C  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
) )
2019ibi 232 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  K  ->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v )
21 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ran  t  C_  ( ~P U  i^i  Fin )
)
2221ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  C_  ( ~P U  i^i  Fin ) )
23 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
~P U
2422, 23syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  C_  ~P U )
25 sspwuni 3987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  t  C_  ~P U  <->  U.
ran  t  C_  U
)
2624, 25sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  C_  U )
27 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
2827rnex 4942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  t  e.  _V
2928uniex 4516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  t  e.  _V
3029elpw 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  t  e.  ~P U 
<-> 
U. ran  t  C_  U )
3126, 30sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  ~P U
)
32 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  ->  t  Fn  A )
3332ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  t  Fn  A )
34 dffn4 5457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  Fn  A  <->  t : A -onto-> ran  t )
3533, 34sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  t : A -onto-> ran  t )
36 fofi 7142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  t : A -onto-> ran  t
)  ->  ran  t  e. 
Fin )
3735, 36syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  e.  Fin )
38 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3922, 38syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  C_  Fin )
40 unifi 7145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  t  e.  Fin  /\ 
ran  t  C_  Fin )  ->  U. ran  t  e. 
Fin )
4137, 39, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  Fin )
42 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( U. ran  t  e. 
~P U  /\  U. ran  t  e.  Fin ) )
4331, 41, 42sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
4443adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
45 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  C  C_ 
U_ x  e.  A  B )
46 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( t `  x
)  e.  ran  t
)
4732, 46sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  x  e.  A
)  ->  ( t `  x )  e.  ran  t )
4847adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
t `  x )  e.  ran  t )
49 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t `  x )  e.  ran  t  -> 
( t `  x
)  C_  U. ran  t
)
50 uniss 3848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t `  x ) 
C_  U. ran  t  ->  U. ( t `  x
)  C_  U. U. ran  t )
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  /\  x  e.  A )  ->  U. (
t `  x )  C_ 
U. U. ran  t )
52 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  U. ( t `  x )  ->  ( U. ( t `  x
)  C_  U. U. ran  t  ->  B  C_  U. U. ran  t ) )
5351, 52syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( B  C_  U. ( t `
 x )  ->  B  C_  U. U. ran  t ) )
5453ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  ->  ( A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x )  ->  A. x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t ) )
5554impr 602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  A. x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
56 iunss 3943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_ 
U. U. ran  t  <->  A. x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
5755, 56sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
5857adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
5945, 58sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  C  C_ 
U. U. ran  t )
60 unieq 3836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  U. ran  t  ->  U. v  =  U. U.
ran  t )
6160sseq2d 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  U. ran  t  ->  ( C  C_  U. v  <->  C 
C_  U. U. ran  t
) )
6261rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  C  C_  U.
U. ran  t )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
)
6344, 59, 62syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
)
6420, 63nsyl3 111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  -.  C  e.  K )
6564ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x ) )  ->  -.  C  e.  K
) )
6665exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. ( t `
 x ) )  ->  -.  C  e.  K ) )
6715, 66syld 40 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  ->  -.  C  e.  K
) )
6810, 67syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( -.  E. x  e.  A  B  e.  K  ->  -.  C  e.  K ) )
6968con4d 97 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( C  e.  K  ->  E. x  e.  A  B  e.  K )
)
70693impia 1148 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B  /\  C  e.  K )  ->  E. x  e.  A  B  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   U_ciun 3905   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255   Fincfn 6863   MetOpencmopn 16372
This theorem is referenced by:  heiborlem3  26537  heiborlem10  26544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867
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