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Theorem heiborlem1 26520
Description: Lemma for heibor 26530. We work with a fixed open cover  U throughout. The set  K is the set of all subsets of  X that admit no finite subcover of  U. (We wish to prove that  K is empty.) If a set  C has no finite subcover, then any finite cover of  C must contain a set that also has no finite subcover. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor.3  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
heiborlem1.4  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
heiborlem1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B  /\  C  e.  K )  ->  E. x  e.  A  B  e.  K )
Distinct variable groups:    x, A    x, u, v, D    u, B, v    u, J, v, x    u, U, v, x    u, C, v   
x, K
Allowed substitution hints:    A( v, u)    B( x)    C( x)    K( v, u)

Proof of Theorem heiborlem1
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heiborlem1.4 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
2 sseq1 3369 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  B  ->  (
u  C_  U. v  <->  B 
C_  U. v ) )
32rexbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  B  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v ) )
43notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  B  ->  ( -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) u  C_  U. v  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v
) )
5 heibor.3 . . . . . . . 8  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
61, 4, 5elab2 3085 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v
)
76con2bii 323 . . . . . 6  |-  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  <->  -.  B  e.  K )
87ralbii 2729 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B 
C_  U. v  <->  A. x  e.  A  -.  B  e.  K )
9 ralnex 2715 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  -.  B  e.  K  <->  -.  E. x  e.  A  B  e.  K )
108, 9bitr2i 242 . . . 4  |-  ( -. 
E. x  e.  A  B  e.  K  <->  A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v
)
11 unieq 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( t `  x )  ->  U. v  =  U. ( t `  x ) )
1211sseq2d 3376 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( t `  x )  ->  ( B  C_  U. v  <->  B  C_  U. (
t `  x )
) )
1312ac6sfi 7351 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B 
C_  U. v )  ->  E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x ) ) )
1413ex 424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  ->  E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x ) ) ) )
1514adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  ->  E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. ( t `
 x ) ) ) )
16 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  C  ->  (
u  C_  U. v  <->  C 
C_  U. v ) )
1716rexbidv 2726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  C  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v ) )
1817notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  C  ->  ( -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) u  C_  U. v  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
) )
1918, 5elab2g 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  K  ->  ( C  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
) )
2019ibi 233 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  K  ->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v )
21 frn 5597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ran  t  C_  ( ~P U  i^i  Fin )
)
2221ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  C_  ( ~P U  i^i  Fin ) )
23 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
~P U
2422, 23syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  C_  ~P U )
25 sspwuni 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  t  C_  ~P U  <->  U.
ran  t  C_  U
)
2624, 25sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  C_  U )
27 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
2827rnex 5133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  t  e.  _V
2928uniex 4705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  t  e.  _V
3029elpw 3805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  t  e.  ~P U 
<-> 
U. ran  t  C_  U )
3126, 30sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  ~P U
)
32 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  ->  t  Fn  A )
3332ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  t  Fn  A )
34 dffn4 5659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  Fn  A  <->  t : A -onto-> ran  t )
3533, 34sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  t : A -onto-> ran  t )
36 fofi 7392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  t : A -onto-> ran  t
)  ->  ran  t  e. 
Fin )
3735, 36syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  e.  Fin )
38 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
Fin
3922, 38syl6ss 3360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  ran  t  C_  Fin )
40 unifi 7395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  t  e.  Fin  /\ 
ran  t  C_  Fin )  ->  U. ran  t  e. 
Fin )
4137, 39, 40syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  Fin )
42 elin 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( U. ran  t  e. 
~P U  /\  U. ran  t  e.  Fin ) )
4331, 41, 42sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
4443adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )
45 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  C  C_ 
U_ x  e.  A  B )
46 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( t `  x
)  e.  ran  t
)
4732, 46sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  x  e.  A
)  ->  ( t `  x )  e.  ran  t )
4847adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  /\  x  e.  A )  ->  (
t `  x )  e.  ran  t )
49 elssuni 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t `  x )  e.  ran  t  -> 
( t `  x
)  C_  U. ran  t
)
50 uniss 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t `  x ) 
C_  U. ran  t  ->  U. ( t `  x
)  C_  U. U. ran  t )
5148, 49, 503syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  /\  x  e.  A )  ->  U. (
t `  x )  C_ 
U. U. ran  t )
52 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B 
C_  U. ( t `  x )  ->  ( U. ( t `  x
)  C_  U. U. ran  t  ->  B  C_  U. U. ran  t ) )
5351, 52syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( B  C_  U. ( t `
 x )  ->  B  C_  U. U. ran  t ) )
5453ralimdva 2784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )
)  ->  ( A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x )  ->  A. x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t ) )
5554impr 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  A. x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
56 iunss 4132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ x  e.  A  B  C_ 
U. U. ran  t  <->  A. x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
5755, 56sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
5857adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  U_ x  e.  A  B  C_  U. U. ran  t )
5945, 58sstrd 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  C  C_ 
U. U. ran  t )
60 unieq 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  U. ran  t  ->  U. v  =  U. U.
ran  t )
6160sseq2d 3376 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  U. ran  t  ->  ( C  C_  U. v  <->  C 
C_  U. U. ran  t
) )
6261rspcev 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. ran  t  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  C  C_  U.
U. ran  t )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
)
6344, 59, 62syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) C  C_  U. v
)
6420, 63nsyl3 113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  /\  ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. (
t `  x )
) )  ->  -.  C  e.  K )
6564ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_ 
U. ( t `  x ) )  ->  -.  C  e.  K
) )
6665exlimdv 1646 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( E. t ( t : A --> ( ~P U  i^i  Fin )  /\  A. x  e.  A  B  C_  U. ( t `
 x ) )  ->  -.  C  e.  K ) )
6715, 66syld 42 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( A. x  e.  A  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) B  C_  U. v  ->  -.  C  e.  K
) )
6810, 67syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( -.  E. x  e.  A  B  e.  K  ->  -.  C  e.  K ) )
6968con4d 99 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B )  -> 
( C  e.  K  ->  E. x  e.  A  B  e.  K )
)
70693impia 1150 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  U_ x  e.  A  B  /\  C  e.  K )  ->  E. x  e.  A  B  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   U_ciun 4093   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454   Fincfn 7109   MetOpencmopn 16691
This theorem is referenced by:  heiborlem3  26522  heiborlem10  26529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-fin 7113
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