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Theorem heiborlem10 26220
Description: Lemma for heibor 26221. The last remaining piece of the proof is to find an element  C such that  C G 0, i.e. 
C is an element of  ( F ` 
0 ) that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 26211, since  ( F `  0 ) is a finite cover of  X, which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of  U that covers  X, i.e.  X is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor.3  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
heibor.4  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
heibor.5  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
heibor.7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
heibor.8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
Assertion
Ref Expression
heiborlem10  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. v )
Distinct variable groups:    y, n, u, F    m, n, u, v, y, z, D    B, n, u, v, y   
m, J, n, u, v, y, z    U, n, u, v, y, z   
m, X, n, u, v, y, z    n, K, y, z    ph, v
Allowed substitution hints:    ph( y, z, u, m, n)    B( z, m)    U( m)    F( z, v, m)    G( y,
z, v, u, m, n)    K( v, u, m)

Proof of Theorem heiborlem10
Dummy variables  t  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
2 0nn0 10168 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
3 inss2 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P X  i^i  Fin )  C_ 
Fin
4 ffvelrn 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )  /\  0  e.  NN0 )  ->  ( F ` 
0 )  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )
53, 4sseldi 3289 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )  /\  0  e.  NN0 )  ->  ( F ` 
0 )  e.  Fin )
61, 2, 5sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  Fin )
7 heibor.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
8 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
0 ) )
9 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  (
y B n )  =  ( y B 0 ) )
108, 9iuneq12d 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n )  =  U_ y  e.  ( F `  0 ) ( y B 0 ) )
1110eqeq2d 2398 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  ( X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n )  <->  X  =  U_ y  e.  ( F `
 0 ) ( y B 0 ) ) )
1211rspccva 2994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n )  /\  0  e.  NN0 )  ->  X  =  U_ y  e.  ( F `  0 ) ( y B 0 ) )
137, 2, 12sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  =  U_ y  e.  ( F `  0
) ( y B 0 ) )
14 eqimss 3343 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U_ y  e.  ( F `  0
) ( y B 0 )  ->  X  C_ 
U_ y  e.  ( F `  0 ) ( y B 0 ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  U_ y  e.  ( F `  0
) ( y B 0 ) )
16 heibor.1 . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
17 heibor.3 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
18 ovex 6045 . . . . . . . . . 10  |-  ( y B 0 )  e. 
_V
1916, 17, 18heiborlem1 26211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  0
)  e.  Fin  /\  X  C_  U_ y  e.  ( F `  0
) ( y B 0 )  /\  X  e.  K )  ->  E. y  e.  ( F `  0
) ( y B 0 )  e.  K
)
20 oveq1 6027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y B 0 )  =  ( x B 0 ) )
2120eleq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( y B 0 )  e.  K  <->  ( x B 0 )  e.  K ) )
2221cbvrexv 2876 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  ( F `
 0 ) ( y B 0 )  e.  K  <->  E. x  e.  ( F `  0
) ( x B 0 )  e.  K
)
2319, 22sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  0
)  e.  Fin  /\  X  C_  U_ y  e.  ( F `  0
) ( y B 0 )  /\  X  e.  K )  ->  E. x  e.  ( F `  0
) ( x B 0 )  e.  K
)
24233expia 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  0
)  e.  Fin  /\  X  C_  U_ y  e.  ( F `  0
) ( y B 0 ) )  -> 
( X  e.  K  ->  E. x  e.  ( F `  0 ) ( x B 0 )  e.  K ) )
256, 15, 24syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  K  ->  E. x  e.  ( F `  0 ) ( x B 0 )  e.  K ) )
2625adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  ( X  e.  K  ->  E. x  e.  ( F `  0
) ( x B 0 )  e.  K
) )
27 heibor.4 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
28 vex 2902 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
29 c0ex 9018 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
3016, 17, 27, 28, 29heiborlem2 26212 . . . . . . . . 9  |-  ( x G 0  <->  ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  ( F `  0
)  /\  ( x B 0 )  e.  K ) )
31 heibor.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
32 heibor.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
3316, 17, 27, 31, 32, 1, 7heiborlem3 26213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. g A. x  e.  G  ( (
g `  x ) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  ( ( g `
 x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
3433ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  x G 0 )  ->  E. g A. x  e.  G  ( ( g `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( g `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
3532ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( x G 0  /\  A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
361ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( x G 0  /\  A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin ) )
377ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( x G 0  /\  A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n ) ( y B n ) )
38 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( x G 0  /\  A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )  ->  A. x  e.  G  ( (
g `  x ) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  ( ( g `
 x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
39 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  t  ->  (
g `  x )  =  ( g `  t ) )
40 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  t  ->  ( 2nd `  x )  =  ( 2nd `  t
) )
4140oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  t  ->  (
( 2nd `  x
)  +  1 )  =  ( ( 2nd `  t )  +  1 ) )
4239, 41breq12d 4166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  <->  ( g `  t ) G ( ( 2nd `  t
)  +  1 ) ) )
43 fveq2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  t  ->  ( B `  x )  =  ( B `  t ) )
4439, 41oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  t  ->  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) )  =  ( ( g `
 t ) B ( ( 2nd `  t
)  +  1 ) ) )
4543, 44ineq12d 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  t  ->  (
( B `  x
)  i^i  ( (
g `  x ) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( B `  t )  i^i  (
( g `  t
) B ( ( 2nd `  t )  +  1 ) ) ) )
4645eleq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K  <->  ( ( B `  t )  i^i  ( ( g `  t ) B ( ( 2nd `  t
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
4742, 46anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( g `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( g `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
)  <->  ( ( g `
 t ) G ( ( 2nd `  t
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 t )  i^i  ( ( g `  t ) B ( ( 2nd `  t
)  +  1 ) ) )  e.  K
) ) )
4847cbvralv 2875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K )  <->  A. t  e.  G  ( ( g `  t ) G ( ( 2nd `  t
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 t )  i^i  ( ( g `  t ) B ( ( 2nd `  t
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
4938, 48sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( x G 0  /\  A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )  ->  A. t  e.  G  ( (
g `  t ) G ( ( 2nd `  t )  +  1 )  /\  ( ( B `  t )  i^i  ( ( g `
 t ) B ( ( 2nd `  t
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
50 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( x G 0  /\  A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )  ->  x G 0 )
51 eqeq1 2393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  m  ->  (
g  =  0  <->  m  =  0 ) )
52 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  m  ->  (
g  -  1 )  =  ( m  - 
1 ) )
5351, 52ifbieq2d 3702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  m  ->  if ( g  =  0 ,  x ,  ( g  -  1 ) )  =  if ( m  =  0 ,  x ,  ( m  -  1 ) ) )
5453cbvmptv 4241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  NN0  |->  if ( g  =  0 ,  x ,  ( g  -  1 ) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  x ,  ( m  -  1 ) ) )
55 seqeq3 11255 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  e.  NN0  |->  if ( g  =  0 ,  x ,  ( g  -  1 ) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  x ,  ( m  -  1 ) ) )  ->  seq  0
( g ,  ( g  e.  NN0  |->  if ( g  =  0 ,  x ,  ( g  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( g ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  x ,  ( m  -  1 ) ) ) ) )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  0
( g ,  ( g  e.  NN0  |->  if ( g  =  0 ,  x ,  ( g  -  1 ) ) ) )  =  seq  0 ( g ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  x ,  ( m  -  1 ) ) ) )
57 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  <. (  seq  0 ( g ,  ( g  e.  NN0  |->  if ( g  =  0 ,  x ,  ( g  -  1 ) ) ) ) `  n ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) )
>. )  =  (
n  e.  NN  |->  <.
(  seq  0 ( g ,  ( g  e.  NN0  |->  if ( g  =  0 ,  x ,  ( g  -  1 ) ) ) ) `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.
)
58 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( x G 0  /\  A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )  ->  U  C_  J )
59 cmetmet 19110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
60 metxmet 18273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
6132, 59, 603syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
6216mopnuni 18361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  X  =  U. J )
65 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  U. J  =  U. U )
6664, 65eqtr2d 2420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  U. U  =  X )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( x G 0  /\  A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )  ->  U. U  =  X )
6816, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 67heiborlem9 26219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( x G 0  /\  A. x  e.  G  (
( g `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( g `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )  ->  -.  X  e.  K )
6968expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  x G 0 )  ->  ( A. x  e.  G  ( ( g `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( g `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
)  ->  -.  X  e.  K ) )
7069exlimdv 1643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  x G 0 )  ->  ( E. g A. x  e.  G  ( ( g `
 x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( g `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
)  ->  -.  X  e.  K ) )
7134, 70mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  x G 0 )  ->  -.  X  e.  K )
7230, 71sylan2br 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  ( 0  e.  NN0  /\  x  e.  ( F `  0
)  /\  ( x B 0 )  e.  K ) )  ->  -.  X  e.  K
)
73723exp2 1171 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  ( 0  e. 
NN0  ->  ( x  e.  ( F `  0
)  ->  ( (
x B 0 )  e.  K  ->  -.  X  e.  K )
) ) )
742, 73mpi 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  ( x  e.  ( F `  0
)  ->  ( (
x B 0 )  e.  K  ->  -.  X  e.  K )
) )
7574rexlimdv 2772 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  ( E. x  e.  ( F `  0
) ( x B 0 )  e.  K  ->  -.  X  e.  K
) )
7626, 75syld 42 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  ( X  e.  K  ->  -.  X  e.  K ) )
7776pm2.01d 163 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  -.  X  e.  K )
78 elfvdm 5697 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  e.  dom  CMet )
79 sseq1 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  X  ->  (
u  C_  U. v  <->  X 
C_  U. v ) )
8079rexbidv 2670 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  X  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  C_  U. v ) )
8180notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( u  =  X  ->  ( -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) u  C_  U. v  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  C_  U. v
) )
8281, 17elab2g 3027 . . . . . 6  |-  ( X  e.  dom  CMet  ->  ( X  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  C_  U. v
) )
8332, 78, 823syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  K  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  C_  U. v
) )
8483adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  ( X  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  C_  U. v
) )
8584con2bid 320 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  C_  U. v  <->  -.  X  e.  K ) )
8677, 85mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  C_  U. v
)
8763ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  X  =  U. J )
8887sseq1d 3318 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( X  C_  U. v  <->  U. J  C_  U. v ) )
89 inss1 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P U  i^i  Fin )  C_ 
~P U
9089sseli 3287 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  v  e.  ~P U )
9190elpwid 3751 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  v  C_  U )
92 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  U  C_  J
)
93 sstr 3299 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  C_  U  /\  U  C_  J )  -> 
v  C_  J )
9493unissd 3981 . . . . . . 7  |-  ( ( v  C_  U  /\  U  C_  J )  ->  U. v  C_  U. J
)
9591, 92, 94syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  U. v  C_ 
U. J )
9695biantrud 494 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( U. J  C_  U. v  <->  ( U. J  C_  U. v  /\  U. v  C_  U. J
) ) )
97 eqss 3306 . . . . 5  |-  ( U. J  =  U. v  <->  ( U. J  C_  U. v  /\  U. v  C_  U. J
) )
9896, 97syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( U. J  C_  U. v  <->  U. J  =  U. v
) )
9988, 98bitrd 245 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  /\  v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( X  C_  U. v  <->  U. J  = 
U. v ) )
10099rexbidva 2666 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) X  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. v ) )
10186, 100mpbid 202 1  |-  ( (
ph  /\  ( U  C_  J  /\  U. J  =  U. U ) )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) U. J  =  U. v )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373   A.wral 2649   E.wrex 2650    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ifcif 3682   ~Pcpw 3742   <.cop 3760   U.cuni 3957   U_ciun 4035   class class class wbr 4153   {copab 4206    e. cmpt 4207   dom cdm 4818   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    e. cmpt2 6022   2ndc2nd 6287   Fincfn 7045   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   3c3 9982   NN0cn0 10153    seq cseq 11250   ^cexp 11309   * Metcxmt 16612   Metcme 16613   ballcbl 16614   MetOpencmopn 16617   CMetcms 19078
This theorem is referenced by:  heibor  26221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fl 11129  df-seq 11251  df-exp 11310  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lm 17215  df-haus 17301  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-cfil 19079  df-cau 19080  df-cmet 19081
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