Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem10 Unicode version

Theorem heiborlem10 26647
 Description: Lemma for heibor 26648. The last remaining piece of the proof is to find an element such that , i.e. is an element of that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 26638, since is a finite cover of , which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of that covers , i.e. is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1
heibor.3
heibor.4
heibor.5
heibor.6
heibor.7
heibor.8
Assertion
Ref Expression
heiborlem10
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,)   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,)

Proof of Theorem heiborlem10
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.7 . . . . . . . 8
2 0nn0 9996 . . . . . . . 8
3 inss2 3403 . . . . . . . . 9
4 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9
53, 4sseldi 3191 . . . . . . . 8
61, 2, 5sylancl 643 . . . . . . 7
7 heibor.8 . . . . . . . . 9
8 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
9 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
108, 9iuneq12d 3945 . . . . . . . . . . 11
1110eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10
1211rspccva 2896 . . . . . . . . 9
137, 2, 12sylancl 643 . . . . . . . 8
14 eqimss 3243 . . . . . . . 8
1513, 14syl 15 . . . . . . 7
16 heibor.1 . . . . . . . . . 10
17 heibor.3 . . . . . . . . . 10
18 ovex 5899 . . . . . . . . . 10
1916, 17, 18heiborlem1 26638 . . . . . . . . 9
20 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11
2120eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10
2221cbvrexv 2778 . . . . . . . . 9
2319, 22sylib 188 . . . . . . . 8
24233expia 1153 . . . . . . 7
256, 15, 24syl2anc 642 . . . . . 6
2625adantr 451 . . . . 5
27 heibor.4 . . . . . . . . . 10
28 vex 2804 . . . . . . . . . 10
29 c0ex 8848 . . . . . . . . . 10
3016, 17, 27, 28, 29heiborlem2 26639 . . . . . . . . 9
31 heibor.5 . . . . . . . . . . . 12
32 heibor.6 . . . . . . . . . . . 12
3316, 17, 27, 31, 32, 1, 7heiborlem3 26640 . . . . . . . . . . 11
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
3532ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
361ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
377ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
38 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14
39 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
40 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4140oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4239, 41breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4439, 41oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4543, 44ineq12d 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4742, 46anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847cbvralv 2777 . . . . . . . . . . . . . 14
4938, 48sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13
50 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13
51 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5351, 52ifbieq2d 3598 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . . . 14
55 seqeq3 11067 . . . . . . . . . . . . . 14
5654, 55ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
58 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13
59 cmetmet 18728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 metxmet 17915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6132, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6216mopnuni 18003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
6816, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 67heiborlem9 26646 . . . . . . . . . . . 12
6968expr 598 . . . . . . . . . . 11
7069exlimdv 1626 . . . . . . . . . 10
7134, 70mpd 14 . . . . . . . . 9
7230, 71sylan2br 462 . . . . . . . 8
73723exp2 1169 . . . . . . 7
742, 73mpi 16 . . . . . 6
7574rexlimdv 2679 . . . . 5
7626, 75syld 40 . . . 4
7776pm2.01d 161 . . 3
78 elfvdm 5570 . . . . . 6
79 sseq1 3212 . . . . . . . . 9
8079rexbidv 2577 . . . . . . . 8
8180notbid 285 . . . . . . 7
8281, 17elab2g 2929 . . . . . 6
8332, 78, 823syl 18 . . . . 5
8483adantr 451 . . . 4
8584con2bid 319 . . 3
8677, 85mpbird 223 . 2
8763ad2antrr 706 . . . . 5
8887sseq1d 3218 . . . 4
89 inss1 3402 . . . . . . . . 9
9089sseli 3189 . . . . . . . 8
91 elpwi 3646 . . . . . . . 8
9290, 91syl 15 . . . . . . 7
93 simprl 732 . . . . . . 7
94 sstr 3200 . . . . . . . 8
95 uniss 3864 . . . . . . . 8
9694, 95syl 15 . . . . . . 7
9792, 93, 96syl2anr 464 . . . . . 6
9897biantrud 493 . . . . 5
99 eqss 3207 . . . . 5
10098, 99syl6bbr 254 . . . 4
10188, 100bitrd 244 . . 3
102101rexbidva 2573 . 2
10386, 102mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282  wral 2556  wrex 2557   cin 3164   wss 3165  cif 3578  cpw 3638  cop 3656  cuni 3843  ciun 3921   class class class wbr 4039  copab 4092   cmpt 4093   cdm 4705  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c2nd 6137  cfn 6879  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  c3 9812  cn0 9981   cseq 11062  cexp 11120  cxmt 16385  cme 16386  cbl 16387  cmopn 16388  cms 18696 This theorem is referenced by:  heibor  26648 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lm 16975  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-cfil 18697  df-cau 18698  df-cmet 18699
 Copyright terms: Public domain W3C validator