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Theorem heiborlem6 26516
Description: Lemma for heibor 26521. Since the sequence of balls connected by the function  T ensures that each ball nontrivially intersects with the next (since the empty set has a finite subcover, the intersection of any two successive balls in the sequence is nonempty), and each ball is half the size of the previous one, the distance between the centers is at most  3  /  2 times the size of the larger, and so if we expand each ball by a factor of  3 we get a nested sequence of balls. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor.3  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
heibor.4  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
heibor.5  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
heibor.7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
heibor.8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
heibor.9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  G  ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
heibor.10  |-  ( ph  ->  C G 0 )
heibor.11  |-  S  =  seq  0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) )
heibor.12  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
heiborlem6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( ball `  D
) `  ( M `  ( k  +  1 ) ) )  C_  ( ( ball `  D
) `  ( M `  k ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, k, u, F    k, G, x    ph, k, x   
k, m, v, z, D, n, u, x, y    k, M, m, u, x, y, z    T, m, n, x, y, z    B, n, u, v, y    k, J, m, n, u, v, x, y, z    U, n, u, v, x, y, z    S, k, m, n, u, v, x, y, z    k, X, m, n, u, v, x, y, z    C, m, n, u, v, y   
n, K, x, y, z    x, B
Allowed substitution hints:    ph( y, z, v, u, m, n)    B( z, k, m)    C( x, z, k)    T( v, u, k)    U( k, m)    F( z, v, m)    G( y, z, v, u, m, n)    K( v, u, k, m)    M( v, n)

Proof of Theorem heiborlem6
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10220 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2 heibor.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
3 cmetmet 19231 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
5 metxmet 18356 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8 heibor.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
9 inss1 3553 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P X  i^i  Fin )  C_ 
~P X
10 fss 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )  /\  ( ~P X  i^i  Fin )  C_  ~P X
)  ->  F : NN0
--> ~P X )
118, 9, 10sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ~P X
)
12 peano2nn0 10252 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
13 ffvelrn 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN0 --> ~P X  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ~P X
)
1411, 12, 13syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ~P X )
1514elpwid 3800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  C_  X
)
16 heibor.1 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
17 heibor.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
18 heibor.4 . . . . . . . . 9  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
19 heibor.5 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
20 heibor.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
21 heibor.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  G  ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
22 heibor.10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C G 0 )
23 heibor.11 . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq  0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) )
2416, 17, 18, 19, 2, 8, 20, 21, 22, 23heiborlem4 26514 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) ) G ( k  +  1 ) )
2512, 24sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) ) G ( k  +  1 ) )
26 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 ( k  +  1 ) )  e. 
_V
27 ovex 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
2816, 17, 18, 26, 27heiborlem2 26512 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) G ( k  +  1 )  <->  ( (
k  +  1 )  e.  NN0  /\  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) )  /\  (
( S `  (
k  +  1 ) ) B ( k  +  1 ) )  e.  K ) )
2928simp2bi 973 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) G ( k  +  1 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
3025, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
3115, 30sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
3211ffvelrnda 5862 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  ~P X )
3332elpwid 3800 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  C_  X
)
3416, 17, 18, 19, 2, 8, 20, 21, 22, 23heiborlem4 26514 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k ) G k )
35 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 k )  e. 
_V
36 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  k  e. 
_V
3716, 17, 18, 35, 36heiborlem2 26512 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  k ) G k  <->  ( k  e.  NN0  /\  ( S `
 k )  e.  ( F `  k
)  /\  ( ( S `  k ) B k )  e.  K ) )
3837simp2bi 973 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  k ) G k  ->  ( S `  k )  e.  ( F `  k
) )
3934, 38syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k )  e.  ( F `  k ) )
4033, 39sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k )  e.  X
)
41 3re 10063 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
42 2nn 10125 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
43 nnexpcl 11386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  NN )
4442, 12, 43sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  NN )
4544nnrpd 10639 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
4645adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
47 rerpdivcl 10631 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  ( 3  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
4841, 46, 47sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
49 nnexpcl 11386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
5042, 49mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ k )  e.  NN )
5150nnrpd 10639 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ k )  e.  RR+ )
5251adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ k )  e.  RR+ )
53 rerpdivcl 10631 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( 2 ^ k
)  e.  RR+ )  ->  ( 3  /  (
2 ^ k ) )  e.  RR )
5441, 52, 53sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR )
55 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( S `  k )  ->  (
z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
56 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ k ) )
5756oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
1  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
5857oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
( S `  k
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
59 ovex 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )  e. 
_V
6055, 58, 19, 59ovmpt2 6201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S `  k
)  e.  X  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( S `  k ) B k )  =  ( ( S `  k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) ) )
6140, 60sylancom 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) B k )  =  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
62 df-br 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S `  k ) G k  <->  <. ( S `
 k ) ,  k >.  e.  G
)
63 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( T `  x )  =  ( T `  <. ( S `  k ) ,  k >. )
)
64 df-ov 6076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S `  k ) T k )  =  ( T `  <. ( S `  k ) ,  k >. )
6563, 64syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( T `  x )  =  ( ( S `  k
) T k ) )
6635, 36op2ndd 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( 2nd `  x
)  =  k )
6766oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( 2nd `  x )  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
6865, 67breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( T `
 x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  <-> 
( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 ) ) )
69 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( B `  x )  =  ( B `  <. ( S `  k ) ,  k >. )
)
70 df-ov 6076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S `  k ) B k )  =  ( B `  <. ( S `  k ) ,  k >. )
7169, 70syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( B `  x )  =  ( ( S `  k
) B k ) )
7265, 67oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( T `
 x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) )  =  ( ( ( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) ) )
7371, 72ineq12d 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  =  ( ( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) ) ) )
7473eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( ( B `  x )  i^i  ( ( T `
 x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K  <->  ( ( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) )
7568, 74anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  ( ( T `
 x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
)  <->  ( ( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )
7675rspccv 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  G  (
( T `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( T `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K )  ->  ( <. ( S `  k ) ,  k >.  e.  G  ->  ( ( ( S `
 k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K
) ) )
7721, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( <. ( S `  k ) ,  k
>.  e.  G  ->  (
( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `
 k ) B k )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )
7862, 77syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S `  k ) G k  ->  ( ( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) G k  ->  (
( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `
 k ) B k )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )
8034, 79mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) T k ) G ( k  +  1 )  /\  (
( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) )
8180simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 ) )
82 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S `  k ) T k )  e. 
_V
8316, 17, 18, 82, 27heiborlem2 26512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S `  k
) T k ) G ( k  +  1 )  <->  ( (
k  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( S `  k
) T k )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) )  /\  (
( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) )  e.  K ) )
8483simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S `  k
) T k ) G ( k  +  1 )  ->  (
( S `  k
) T k )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
8581, 84syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) T k )  e.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
8615, 85sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) T k )  e.  X )
8712adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
88 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( S `
 k ) T k )  ->  (
z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
89 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
9089oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )
9190oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( S `  k ) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
92 ovex 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  k
) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
9388, 91, 19, 92ovmpt2 6201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S `  k ) T k )  e.  X  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( S `
 k ) T k ) B ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( S `  k
) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
9486, 87, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
9561, 94ineq12d 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( S `
 k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
9680simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K )
97 0elpw 4361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  ~P U
98 0fin 7328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
99 elin 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P U  /\  (/)  e.  Fin )
)
10097, 98, 99mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
101 0ss 3648 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  U. (/)
102 unieq 4016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  (/)  ->  U. v  =  U. (/) )
103102sseq2d 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  (/)  ->  ( (/)  C_ 
U. v  <->  (/)  C_  U. (/) ) )
104103rspcev 3044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  (/)  C_  U. (/) )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v
)
105100, 101, 104mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v
106 0ex 4331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
107 sseq1 3361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u 
C_  U. v  <->  (/)  C_  U. v
) )
108107rexbidv 2718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  (/)  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v ) )
109108notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  (/)  ->  ( -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) u  C_  U. v  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v
) )
110106, 109, 17elab2 3077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v
)
111110con2bii 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v  <->  -.  (/)  e.  K
)
112105, 111mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  K
113 nelne2 2688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S `
 k ) B k )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K  /\  -.  (/)  e.  K )  ->  ( ( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
11496, 112, 113sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
11595, 114eqnetrrd 2618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =/=  (/) )
11651rpreccld 10650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR+ )
117116adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR+ )
118117rpred 10640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR )
11945rpreccld 10650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
120119adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
121120rpred 10640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
122 rexadd 10810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  (
2 ^ k ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
123118, 121, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
124123breq1d 4214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 1  /  (
2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  <->  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) ) ) )
125117rpxrd 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e. 
RR* )
126120rpxrd 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e. 
RR* )
127 bldisj 18420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( S `  k )  e.  X  /\  ( ( S `  k ) T k )  e.  X )  /\  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e. 
RR*  /\  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e. 
RR*  /\  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) ) ) )  ->  ( ( ( S `  k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) )
1281273exp2 1171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( S `  k )  e.  X  /\  ( ( S `  k ) T k )  e.  X )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e. 
RR*  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e. 
RR*  ->  ( ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) )  ->  (
( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) ) ) ) )
129128imp32 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( S `  k )  e.  X  /\  ( ( S `  k ) T k )  e.  X )  /\  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e. 
RR*  /\  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e. 
RR* ) )  -> 
( ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) )  ->  ( (
( S `  k
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) ) )
1307, 40, 86, 125, 126, 129syl32anc 1192 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 1  /  (
2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  -> 
( ( ( S `
 k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) ) )
131124, 130sylbird 227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 1  /  (
2 ^ k ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) )  ->  (
( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) ) )
132131necon3ad 2634 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =/=  (/)  ->  -.  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) ) ) )
133115, 132mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  -.  (
( 1  /  (
2 ^ k ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) ) )
134117, 120rpaddcld 10655 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
135134rpred 10640 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
1364adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
137 metcl 18354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( S `  k )  e.  X  /\  (
( S `  k
) T k )  e.  X )  -> 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) )  e.  RR )
138136, 40, 86, 137syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  e.  RR )
139135, 138letrid 9215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 1  /  (
2 ^ k ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) )  \/  (
( S `  k
) D ( ( S `  k ) T k ) )  <_  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
140139ord 367 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  ( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  -> 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) )  <_  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
141133, 140mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  <_ 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
142 seqp1 11330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 ( T , 
( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( T ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  k
) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
143 nn0uz 10512 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
144142, 143eleq2s 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  (  seq  0 ( T , 
( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( T ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  k
) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
14523fveq1i 5721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( T ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )
14623fveq1i 5721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S `
 k )  =  (  seq  0 ( T ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  k
)
147146oveq1i 6083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k ) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) ) `  k ) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
148144, 145, 1473eqtr4g 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( S `  k ) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
149 nn0p1nn 10251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
150 nnne0 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  =/=  0 )
151150neneqd 2614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  -.  ( k  +  1 )  =  0 )
152149, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  -.  (
k  +  1 )  =  0 )
153 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( k  +  1 )  =  0  ->  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
154152, 153syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
155 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  -  1 )  e. 
_V
156154, 155syl6eqel 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  e.  _V )
157 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
m  =  0  <->  (
k  +  1 )  =  0 ) )
158 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
159157, 158ifbieq2d 3751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) )
160 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) )
161159, 160fvmptg 5796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN0  /\  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  e.  _V )  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C , 
( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )
16212, 156, 161syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) )
163 nn0cn 10223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
164 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
165 pncan 9303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
166163, 164, 165sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
167162, 154, 1663eqtrd 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  k )
168167oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( S `  k ) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  k ) T k ) )
169148, 168eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( S `  k ) T k ) )
170169adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( S `  k
) T k ) )
171170oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) D ( S `  k ) )  =  ( ( ( S `
 k ) T k ) D ( S `  k ) ) )
172 metsym 18372 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( S `  k
) T k )  e.  X  /\  ( S `  k )  e.  X )  ->  (
( ( S `  k ) T k ) D ( S `
 k ) )  =  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) ) )
173136, 86, 40, 172syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) T k ) D ( S `  k ) )  =  ( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) ) )
174171, 173eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) D ( S `  k ) )  =  ( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) ) )
175 3cn 10064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
1761752timesi 10093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  +  3 )
177176oveq1i 6083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  ( ( 3  +  3 )  -  3 )
178 pncan 9303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3 )
179175, 175, 178mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3
180 df-3 10051 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181177, 179, 1803eqtri 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  ( 2  +  1 )
182181oveq1i 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  +  1 )  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )
183 rpcn 10612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
184 rpne0 10619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  =/=  0 )
185 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
186185, 175mulcli 9087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  3 )  e.  CC
187 divsubdir 9702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 2  x.  3 )  -  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
188186, 175, 187mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =/=  0 )  ->  ( ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  -  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
189183, 184, 188syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
19045, 189syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
191 divdir 9693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  +  1 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
192185, 164, 191mp3an12 1269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =/=  0 )  ->  ( ( 2  +  1 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
193183, 184, 192syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( ( 2  +  1 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
19445, 193syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  +  1 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
195182, 190, 1943eqtr3a 2491 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  -  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
196 rpcn 10612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  RR+  ->  ( 2 ^ k )  e.  CC )
197 rpne0 10619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  RR+  ->  ( 2 ^ k )  =/=  0 )
198 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
199185, 198pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
200 divcan5 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  ( 2 ^ k ) ) )  =  ( 3  /  ( 2 ^ k ) ) )
201175, 199, 200mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2  x.  (
2 ^ k ) ) )  =  ( 3  /  ( 2 ^ k ) ) )
202196, 197, 201syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  RR+  ->  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 3  /  (
2 ^ k ) ) )
20351, 202syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 3  /  (
2 ^ k ) ) )
20451, 196syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ k )  e.  CC )
205 mulcom 9068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) )  =  ( ( 2 ^ k
)  x.  2 ) )
206185, 204, 205sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) )
207 expp1 11380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) )
208185, 207mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) )
209206, 208eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )
210209oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
211203, 210eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
212211oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  -  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
213 divcan5 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  ( 2 ^ k ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )
214164, 199, 213mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( ( 2  x.  1 )  / 
( 2  x.  (
2 ^ k ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )
215196, 197, 214syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  RR+  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
21651, 215syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
217185mulid1i 9084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
218217a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  1 )  =  2 )
219218, 209oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 2  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
220216, 219eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
221220oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
222195, 212, 2213eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  -  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
223222adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
3  /  ( 2 ^ k ) )  -  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
224141, 174, 2233brtr4d 4234 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) D ( S `  k ) )  <_ 
( ( 3  / 
( 2 ^ k
) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
225 blss2 18426 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  X  /\  ( S `  k
)  e.  X )  /\  ( ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR  /\  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) D ( S `  k ) )  <_ 
( ( 3  / 
( 2 ^ k
) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( S `  ( k  +  1 ) ) ( ball `  D ) ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( S `
 k ) (
ball `  D )
( 3  /  (
2 ^ k ) ) ) )
2267, 31, 40, 48, 54, 224, 225syl33anc 1199 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  C_  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 3  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
2271, 226sylan2 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  C_  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 3  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
228 peano2nn 10004 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
229 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  ( k  +  1 ) ) )
230 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
231230oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
3  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )
232229, 231opeq12d 3984 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  <. ( S `  n ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ n
) ) >.  =  <. ( S `  ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) >. )
233 heibor.12 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.
)
234 opex 4419 . . . . . . . 8  |-  <. ( S `  ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) >.  e.  _V
235232, 233, 234fvmpt 5798 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( M `  ( k  +  1 ) )  =  <. ( S `  ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
>. )
236228, 235syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( M `  ( k  +  1 ) )  =  <. ( S `  ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
>. )
237236adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `
 ( k  +  1 ) )  = 
<. ( S `  (
k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) >.
)
238237fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ball `  D ) `  ( M `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( S `
 ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) >. ) )
239 df-ov 6076 . . . 4  |-  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( S `
 ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) >. )
240238, 239syl6eqr 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ball `  D ) `  ( M `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  (
k  +  1 ) ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
241 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( S `  n )  =  ( S `  k ) )
242 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ k ) )
243242oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
3  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) )
244241, 243opeq12d 3984 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  <. ( S `  n ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ n
) ) >.  =  <. ( S `  k ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) >. )
245 opex 4419 . . . . . . 7  |-  <. ( S `  k ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) >.  e.  _V
246244, 233, 245fvmpt 5798 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( M `  k )  =  <. ( S `  k ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ k ) )
>. )
247246fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ball `  D ) `  ( M `  k
) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( S `
 k ) ,  ( 3  /  (
2 ^ k ) ) >. ) )
248 df-ov 6076 . . . . 5  |-  ( ( S `  k ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( S `
 k ) ,  ( 3  /  (
2 ^ k ) ) >. )
249247, 248syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ball `  D ) `  ( M `  k
) )  =  ( ( S `  k
) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) ) )
250249adantl 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ball `  D ) `  ( M `  k
) )  =  ( ( S `  k
) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) ) )
251227, 240, 2503sstr4d 3383 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ball `  D ) `  ( M `  (
k  +  1 ) ) )  C_  (
( ball `  D ) `  ( M `  k
) ) )
252251ralrimiva 2781 1  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( ball `  D
) `  ( M `  ( k  +  1 ) ) )  C_  ( ( ball `  D
) `  ( M `  k ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   ~Pcpw 3791   <.cop 3809   U.cuni 4007   U_ciun 4085   class class class wbr 4204   {copab 4257    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   2ndc2nd 6340   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   RR*cxr 9111    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   3c3 10042   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   + ecxad 10700    seq cseq 11315   ^cexp 11374   * Metcxmt 16678   Metcme 16679   ballcbl 16680   MetOpencmopn 16683   CMetcms 19199
This theorem is referenced by:  heiborlem8  26518  heiborlem9  26519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-seq 11316  df-exp 11375  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-cmet 19202
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