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Theorem heiborlem6 26643
Description: Lemma for heibor 26648. Since the sequence of balls connected by the function  T ensures that each ball nontrivially intersects with the next (since the empty set has a finite subcover, the intersection of any two successive balls in the sequence is nonempty), and each ball is half the size of the previous one, the distance between the centers is at most  3  /  2 times the size of the larger, and so if we expand each ball by a factor of  3 we get a nested sequence of balls. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
heibor.3  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
heibor.4  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
heibor.5  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
heibor.7  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
heibor.8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
heibor.9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  G  ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
heibor.10  |-  ( ph  ->  C G 0 )
heibor.11  |-  S  =  seq  0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) )
heibor.12  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
heiborlem6  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( ball `  D
) `  ( M `  ( k  +  1 ) ) )  C_  ( ( ball `  D
) `  ( M `  k ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, y, k, u, F    k, G, x    ph, k, x   
k, m, v, z, D, n, u, x, y    k, M, m, u, x, y, z    T, m, n, x, y, z    B, n, u, v, y    k, J, m, n, u, v, x, y, z    U, n, u, v, x, y, z    S, k, m, n, u, v, x, y, z    k, X, m, n, u, v, x, y, z    C, m, n, u, v, y   
n, K, x, y, z    x, B
Allowed substitution hints:    ph( y, z, v, u, m, n)    B( z, k, m)    C( x, z, k)    T( v, u, k)    U( k, m)    F( z, v, m)    G( y, z, v, u, m, n)    K( v, u, k, m)    M( v, n)

Proof of Theorem heiborlem6
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9988 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
2 heibor.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
3 cmetmet 18728 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
5 metxmet 17915 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
64, 5syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8 heibor.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )
)
9 inss1 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P X  i^i  Fin )  C_ 
~P X
10 fss 5413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN0 --> ( ~P X  i^i  Fin )  /\  ( ~P X  i^i  Fin )  C_  ~P X
)  ->  F : NN0
--> ~P X )
118, 9, 10sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : NN0 --> ~P X
)
12 peano2nn0 10020 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
13 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN0 --> ~P X  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ~P X
)
1411, 12, 13syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ~P X )
15 elpwi 3646 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ~P X  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  C_  X )
1614, 15syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  C_  X
)
17 heibor.1 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
18 heibor.3 . . . . . . . . 9  |-  K  =  { u  |  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v }
19 heibor.4 . . . . . . . . 9  |-  G  =  { <. y ,  n >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  y  e.  ( F `  n )  /\  ( y B n )  e.  K
) }
20 heibor.5 . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( z  e.  X ,  m  e.  NN0  |->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
21 heibor.8 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN0  X  =  U_ y  e.  ( F `  n
) ( y B n ) )
22 heibor.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  G  ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  /\  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
) )
23 heibor.10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C G 0 )
24 heibor.11 . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq  0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) )
2517, 18, 19, 20, 2, 8, 21, 22, 23, 24heiborlem4 26641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) ) G ( k  +  1 ) )
2612, 25sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) ) G ( k  +  1 ) )
27 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 ( k  +  1 ) )  e. 
_V
28 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
2917, 18, 19, 27, 28heiborlem2 26639 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) G ( k  +  1 )  <->  ( (
k  +  1 )  e.  NN0  /\  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) )  /\  (
( S `  (
k  +  1 ) ) B ( k  +  1 ) )  e.  K ) )
3029simp2bi 971 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) G ( k  +  1 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
3126, 30syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
3216, 31sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
33 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN0 --> ~P X  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  ~P X )
3411, 33sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  ~P X )
35 elpwi 3646 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  k )  e.  ~P X  -> 
( F `  k
)  C_  X )
3634, 35syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  C_  X
)
3717, 18, 19, 20, 2, 8, 21, 22, 23, 24heiborlem4 26641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k ) G k )
38 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 k )  e. 
_V
39 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  k  e. 
_V
4017, 18, 19, 38, 39heiborlem2 26639 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  k ) G k  <->  ( k  e.  NN0  /\  ( S `
 k )  e.  ( F `  k
)  /\  ( ( S `  k ) B k )  e.  K ) )
4140simp2bi 971 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  k ) G k  ->  ( S `  k )  e.  ( F `  k
) )
4237, 41syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k )  e.  ( F `  k ) )
4336, 42sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  k )  e.  X
)
44 3re 9833 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
45 2nn 9893 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
46 nnexpcl 11132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  NN )
4745, 12, 46sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  NN )
4847nnrpd 10405 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
4948adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+ )
50 rerpdivcl 10397 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  ( 3  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
5144, 49, 50sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
52 nnexpcl 11132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
5345, 52mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ k )  e.  NN )
5453nnrpd 10405 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ k )  e.  RR+ )
5554adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ k )  e.  RR+ )
56 rerpdivcl 10397 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( 2 ^ k
)  e.  RR+ )  ->  ( 3  /  (
2 ^ k ) )  e.  RR )
5744, 55, 56sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR )
58 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( S `  k )  ->  (
z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
59 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  k  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ k ) )
6059oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  k  ->  (
1  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
6160oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
( S `  k
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
62 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )  e. 
_V
6358, 61, 20, 62ovmpt2 5999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S `  k
)  e.  X  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( S `  k ) B k )  =  ( ( S `  k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) ) )
6443, 63sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) B k )  =  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
65 df-br 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S `  k ) G k  <->  <. ( S `
 k ) ,  k >.  e.  G
)
66 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( T `  x )  =  ( T `  <. ( S `  k ) ,  k >. )
)
67 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S `  k ) T k )  =  ( T `  <. ( S `  k ) ,  k >. )
6866, 67syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( T `  x )  =  ( ( S `  k
) T k ) )
6938, 39op2ndd 6147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( 2nd `  x
)  =  k )
7069oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( 2nd `  x )  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
7168, 70breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( T `
 x ) G ( ( 2nd `  x
)  +  1 )  <-> 
( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 ) ) )
72 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( B `  x )  =  ( B `  <. ( S `  k ) ,  k >. )
)
73 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S `  k ) B k )  =  ( B `  <. ( S `  k ) ,  k >. )
7472, 73syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( B `  x )  =  ( ( S `  k
) B k ) )
7568, 70oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( T `
 x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) )  =  ( ( ( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) ) )
7674, 75ineq12d 3384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( B `
 x )  i^i  ( ( T `  x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  =  ( ( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) ) ) )
7776eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( ( B `  x )  i^i  ( ( T `
 x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K  <->  ( ( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) )
7871, 77anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. ( S `  k ) ,  k
>.  ->  ( ( ( T `  x ) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  ( ( T `
 x ) B ( ( 2nd `  x
)  +  1 ) ) )  e.  K
)  <->  ( ( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )
7978rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  G  (
( T `  x
) G ( ( 2nd `  x )  +  1 )  /\  ( ( B `  x )  i^i  (
( T `  x
) B ( ( 2nd `  x )  +  1 ) ) )  e.  K )  ->  ( <. ( S `  k ) ,  k >.  e.  G  ->  ( ( ( S `
 k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K
) ) )
8022, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( <. ( S `  k ) ,  k
>.  e.  G  ->  (
( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `
 k ) B k )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )
8165, 80syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( S `  k ) G k  ->  ( ( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )
8281adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) G k  ->  (
( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 )  /\  ( ( ( S `
 k ) B k )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) ) )
8337, 82mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) T k ) G ( k  +  1 )  /\  (
( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K ) )
8483simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) T k ) G ( k  +  1 ) )
85 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S `  k ) T k )  e. 
_V
8617, 18, 19, 85, 28heiborlem2 26639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S `  k
) T k ) G ( k  +  1 )  <->  ( (
k  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( S `  k
) T k )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) )  /\  (
( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) )  e.  K ) )
8786simp2bi 971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S `  k
) T k ) G ( k  +  1 )  ->  (
( S `  k
) T k )  e.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
8884, 87syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) T k )  e.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
8916, 88sseldd 3194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) T k )  e.  X )
9012adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
91 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( S `
 k ) T k )  ->  (
z ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
92 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
9392oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )
9493oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( S `  k ) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
95 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S `  k
) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
9691, 94, 20, 95ovmpt2 5999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S `  k ) T k )  e.  X  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( S `
 k ) T k ) B ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( S `  k
) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
9789, 90, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) T k ) B ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
9864, 97ineq12d 3384 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( S `
 k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
9983simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K )
100 0elpw 4196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  ~P U
101 0fin 7103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  Fin
102 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  <->  ( (/)  e.  ~P U  /\  (/)  e.  Fin )
)
103100, 101, 102mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
104 0ss 3496 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  U. (/)
105 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  (/)  ->  U. v  =  U. (/) )
106105sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  (/)  ->  ( (/)  C_ 
U. v  <->  (/)  C_  U. (/) ) )
107106rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  (/)  C_  U. (/) )  ->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v
)
108103, 104, 107mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v
109 0ex 4166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  _V
110 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u 
C_  U. v  <->  (/)  C_  U. v
) )
111110rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  (/)  ->  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
u  C_  U. v  <->  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v ) )
112111notbid 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  (/)  ->  ( -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) u  C_  U. v  <->  -. 
E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v
) )
113109, 112, 18elab2 2930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  K  <->  -.  E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v
)
114113con2bii 322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. v  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) (/)  C_  U. v  <->  -.  (/)  e.  K
)
115108, 114mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  K
116 nelne2 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S `
 k ) B k )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  e.  K  /\  -.  (/)  e.  K )  ->  ( ( ( S `  k ) B k )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
11799, 115, 116sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) B k )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) B ( k  +  1 ) ) )  =/=  (/) )
11898, 117eqnetrrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =/=  (/) )
11954rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR+ )
120119adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR+ )
121120rpred 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR )
12248rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
123122adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
124123rpred 10406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
125 rexadd 10575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  (
2 ^ k ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
126121, 124, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
127126breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 1  /  (
2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  <->  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) ) ) )
128120rpxrd 10407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e. 
RR* )
129123rpxrd 10407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e. 
RR* )
130 bldisj 17971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( S `  k )  e.  X  /\  ( ( S `  k ) T k )  e.  X )  /\  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e. 
RR*  /\  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e. 
RR*  /\  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) ) ) )  ->  ( ( ( S `  k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) )
1311303exp2 1169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( S `  k )  e.  X  /\  ( ( S `  k ) T k )  e.  X )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e. 
RR*  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e. 
RR*  ->  ( ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) )  ->  (
( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) ) ) ) )
132131imp32 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( S `  k )  e.  X  /\  ( ( S `  k ) T k )  e.  X )  /\  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  e. 
RR*  /\  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e. 
RR* ) )  -> 
( ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) + e ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) )  ->  ( (
( S `  k
) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )  i^i  ( ( ( S `
 k ) T k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) ) )
1337, 43, 89, 128, 129, 132syl32anc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 1  /  (
2 ^ k ) ) + e ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  -> 
( ( ( S `
 k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )  i^i  (
( ( S `  k ) T k ) ( ball `  D
) ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) ) )
134127, 133sylbird 226 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 1  /  (
2 ^ k ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) )  ->  (
( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  (/) ) )
135134necon3ad 2495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )  i^i  ( ( ( S `  k ) T k ) (
ball `  D )
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )  =/=  (/)  ->  -.  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  <_ 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) ) ) )
136118, 135mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  -.  (
( 1  /  (
2 ^ k ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) ) )
137120, 123rpaddcld 10421 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
138137rpred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
1394adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
140 metcl 17913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( S `  k )  e.  X  /\  (
( S `  k
) T k )  e.  X )  -> 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) )  e.  RR )
141139, 43, 89, 140syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  e.  RR )
142138, 141letrid 8985 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 1  /  (
2 ^ k ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) )  \/  (
( S `  k
) D ( ( S `  k ) T k ) )  <_  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
143142ord 366 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -.  ( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  -> 
( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) )  <_  ( (
1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
144136, 143mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  k ) D ( ( S `
 k ) T k ) )  <_ 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
145 seqp1 11077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  seq  0 ( T , 
( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( T ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  k
) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
146 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
147145, 146eleq2s 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  (  seq  0 ( T , 
( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq  0 ( T ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  k
) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
14824fveq1i 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  0 ( T ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  (
k  +  1 ) )
14924fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S `
 k )  =  (  seq  0 ( T ,  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) ) `  k
)
150149oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k ) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  0 ( T ,  ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) ) `  k ) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
151147, 148, 1503eqtr4g 2353 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( S `  k ) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
152 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
153 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  =/=  0 )
154153neneqd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  -.  ( k  +  1 )  =  0 )
155152, 154syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  -.  (
k  +  1 )  =  0 )
156 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( k  +  1 )  =  0  ->  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
157155, 156syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
158 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  -  1 )  e. 
_V
159157, 158syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  e.  _V )
160 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
m  =  0  <->  (
k  +  1 )  =  0 ) )
161 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
162160, 161ifbieq2d 3598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) )
163 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) )  =  ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) )
164162, 163fvmptg 5616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN0  /\  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )  e.  _V )  ->  ( ( m  e. 
NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  - 
1 ) ) ) `
 ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C , 
( ( k  +  1 )  -  1 ) ) )
16512, 159, 164syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  =  0 ,  C ,  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) ) )
166 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
167 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
168 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
169166, 167, 168sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
170165, 157, 1693eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  k )
171170oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( S `  k ) T ( ( m  e.  NN0  |->  if ( m  =  0 ,  C ,  ( m  -  1 ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  k ) T k ) )
172151, 171eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( S `  k ) T k ) )
173172adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( S `  k
) T k ) )
174173oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) D ( S `  k ) )  =  ( ( ( S `
 k ) T k ) D ( S `  k ) ) )
175 metsym 17930 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  (
( S `  k
) T k )  e.  X  /\  ( S `  k )  e.  X )  ->  (
( ( S `  k ) T k ) D ( S `
 k ) )  =  ( ( S `
 k ) D ( ( S `  k ) T k ) ) )
176139, 89, 43, 175syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( S `  k
) T k ) D ( S `  k ) )  =  ( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) ) )
177174, 176eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) D ( S `  k ) )  =  ( ( S `  k ) D ( ( S `  k
) T k ) ) )
178 3cn 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
1791782timesi 9861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  +  3 )
180179oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  ( ( 3  +  3 )  -  3 )
181 pncan 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3 )
182178, 178, 181mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3
183 df-3 9821 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =  ( 2  +  1 )
184180, 182, 1833eqtri 2320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  ( 2  +  1 )
185184oveq1i 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  +  1 )  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )
186 rpcn 10378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
187 rpne0 10385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  =/=  0 )
188 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
189188, 178mulcli 8858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  3 )  e.  CC
190 divsubdir 9472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 2  x.  3 )  -  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
191189, 178, 190mp3an12 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =/=  0 )  ->  ( ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  -  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
192186, 187, 191syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
19348, 192syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
194 divdir 9463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  +  1 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
195188, 167, 194mp3an12 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC  /\  ( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =/=  0 )  ->  ( ( 2  +  1 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
196186, 187, 195syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR+  ->  ( ( 2  +  1 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
19748, 196syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  +  1 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
198185, 193, 1973eqtr3a 2352 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  -  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
199 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  RR+  ->  ( 2 ^ k )  e.  CC )
200 rpne0 10385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  RR+  ->  ( 2 ^ k )  =/=  0 )
201 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
202188, 201pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
203 divcan5 9478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  ( 2 ^ k ) ) )  =  ( 3  /  ( 2 ^ k ) ) )
204178, 202, 203mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2  x.  (
2 ^ k ) ) )  =  ( 3  /  ( 2 ^ k ) ) )
205199, 200, 204syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  RR+  ->  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 3  /  (
2 ^ k ) ) )
20654, 205syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 3  /  (
2 ^ k ) ) )
20754, 199syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ k )  e.  CC )
208 mulcom 8839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) )  =  ( ( 2 ^ k
)  x.  2 ) )
209188, 207, 208sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) )
210 expp1 11126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) )
211188, 210mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) )
212209, 211eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )
213212oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
214206, 213eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
215214oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  -  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
216 divcan5 9478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  ( 2 ^ k ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )
217167, 202, 216mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( ( 2  x.  1 )  / 
( 2  x.  (
2 ^ k ) ) )  =  ( 1  /  ( 2 ^ k ) ) )
218199, 200, 217syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  RR+  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
21954, 218syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
220188mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
221220a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  1 )  =  2 )
222221, 212oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ k
) ) )  =  ( 2  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
223219, 222eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
224223oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  +  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 2  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
225198, 215, 2243eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  -  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
226225adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
3  /  ( 2 ^ k ) )  -  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  +  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
227144, 177, 2263brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) D ( S `  k ) )  <_ 
( ( 3  / 
( 2 ^ k
) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
228 blss2 17975 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( S `  ( k  +  1 ) )  e.  X  /\  ( S `  k
)  e.  X )  /\  ( ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( 3  /  ( 2 ^ k ) )  e.  RR  /\  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) D ( S `  k ) )  <_ 
( ( 3  / 
( 2 ^ k
) )  -  (
3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( S `  ( k  +  1 ) ) ( ball `  D ) ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) ) 
C_  ( ( S `
 k ) (
ball `  D )
( 3  /  (
2 ^ k ) ) ) )
2297, 32, 43, 51, 57, 227, 228syl33anc 1197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  C_  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 3  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
2301, 229sylan2 460 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  C_  ( ( S `  k ) ( ball `  D ) ( 3  /  ( 2 ^ k ) ) ) )
231 peano2nn 9774 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
232 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  ( k  +  1 ) ) )
233 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
234233oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
3  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )
235232, 234opeq12d 3820 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  <. ( S `  n ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ n
) ) >.  =  <. ( S `  ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) >. )
236 heibor.12 . . . . . . . 8  |-  M  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( S `  n
) ,  ( 3  /  ( 2 ^ n ) ) >.
)
237 opex 4253 . . . . . . . 8  |-  <. ( S `  ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) >.  e.  _V
238235, 236, 237fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( M `  ( k  +  1 ) )  =  <. ( S `  ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
>. )
239231, 238syl 15 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( M `  ( k  +  1 ) )  =  <. ( S `  ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
>. )
240239adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( M `
 ( k  +  1 ) )  = 
<. ( S `  (
k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) >.
)
241240fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ball `  D ) `  ( M `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( S `
 ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) >. ) )
242 df-ov 5877 . . . 4  |-  ( ( S `  ( k  +  1 ) ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( S `
 ( k  +  1 ) ) ,  ( 3  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) ) >. )
243241, 242syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ball `  D ) `  ( M `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( S `  (
k  +  1 ) ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
244 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( S `  n )  =  ( S `  k ) )
245 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ k ) )
246245oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
3  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) )
247244, 246opeq12d 3820 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  <. ( S `  n ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ n
) ) >.  =  <. ( S `  k ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) >. )
248 opex 4253 . . . . . . 7  |-  <. ( S `  k ) ,  ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) >.  e.  _V
249247, 236, 248fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( M `  k )  =  <. ( S `  k ) ,  ( 3  /  ( 2 ^ k ) )
>. )
250249fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ball `  D ) `  ( M `  k
) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( S `
 k ) ,  ( 3  /  (
2 ^ k ) ) >. ) )
251 df-ov 5877 . . . . 5  |-  ( ( S `  k ) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) )  =  ( ( ball `  D
) `  <. ( S `
 k ) ,  ( 3  /  (
2 ^ k ) ) >. )
252250, 251syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ball `  D ) `  ( M `  k
) )  =  ( ( S `  k
) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) ) )
253252adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ball `  D ) `  ( M `  k
) )  =  ( ( S `  k
) ( ball `  D
) ( 3  / 
( 2 ^ k
) ) ) )
254230, 243, 2533sstr4d 3234 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
ball `  D ) `  ( M `  (
k  +  1 ) ) )  C_  (
( ball `  D ) `  ( M `  k
) ) )
255254ralrimiva 2639 1  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( ball `  D
) `  ( M `  ( k  +  1 ) ) )  C_  ( ( ball `  D
) `  ( M `  k ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   <.cop 3656   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   {copab 4092    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   2ndc2nd 6137   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   + ecxad 10466    seq cseq 11062   ^cexp 11120   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388   CMetcms 18696
This theorem is referenced by:  heiborlem8  26645  heiborlem9  26646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-seq 11063  df-exp 11121  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-cmet 18699
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