Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem8 Unicode version

Theorem heiborlem8 26645
 Description: Lemma for heibor 26648. The previous lemmas establish that the sequence is Cauchy, so using completeness we now consider the convergent point . By assumption, is an open cover, so is an element of some , and some ball centered at is contained in . But the sequence contains arbitrarily small balls close to , so some element of the sequence is contained in . And finally we arrive at a contradiction, because is a finite subcover of that covers , yet . For convenience, we write this contradiction as where is all the accumulated hypotheses and is anything at all. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1
heibor.3
heibor.4
heibor.5
heibor.6
heibor.7
heibor.8
heibor.9
heibor.10
heibor.11
heibor.12
heibor.13
heibor.14
heibor.15
heibor.16
heibor.17
Assertion
Ref Expression
heiborlem8
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   ,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,,)   (,,,,)   (,)   (,)   (,)   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,)   (,)   (,,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem heiborlem8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.6 . . . . 5
2 cmetmet 18728 . . . . 5
3 metxmet 17915 . . . . 5
41, 2, 33syl 18 . . . 4
5 heibor.13 . . . . 5
6 heibor.16 . . . . 5
75, 6sseldd 3194 . . . 4
8 heibor.15 . . . 4
9 heibor.1 . . . . 5
109mopni2 18055 . . . 4
114, 7, 8, 10syl3anc 1182 . . 3
12 rphalfcl 10394 . . . . . . 7
13 breq2 4043 . . . . . . . . 9
1413rexbidv 2577 . . . . . . . 8
15 heibor.3 . . . . . . . . 9
16 heibor.4 . . . . . . . . 9
17 heibor.5 . . . . . . . . 9
18 heibor.7 . . . . . . . . 9
19 heibor.8 . . . . . . . . 9
20 heibor.9 . . . . . . . . 9
21 heibor.10 . . . . . . . . 9
22 heibor.11 . . . . . . . . 9
23 heibor.12 . . . . . . . . 9
249, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22, 23heiborlem7 26644 . . . . . . . 8
2514, 24vtoclri 2871 . . . . . . 7
2612, 25syl 15 . . . . . 6
2726adantl 452 . . . . 5
28 nnnn0 9988 . . . . . . . . . 10
299, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22heiborlem4 26641 . . . . . . . . . . 11
30 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13
31 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13
329, 15, 16, 30, 31heiborlem2 26639 . . . . . . . . . . . 12
3332simp3bi 972 . . . . . . . . . . 11
3429, 33syl 15 . . . . . . . . . 10
3528, 34sylan2 460 . . . . . . . . 9
3635ad2ant2r 727 . . . . . . . 8
374ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
389, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22, 23heiborlem5 26642 . . . . . . . . . . . . . . . 16
39 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4038, 39sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14
42 xp1st 6165 . . . . . . . . . . . . . 14
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
44 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4644, 28, 45sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14
5049rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13
51 xp2nd 6166 . . . . . . . . . . . . . . 15
5241, 51syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
5352rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . 13
54 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55 3re 9833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 1lt3 9904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5754, 55, 56ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 elrp 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59 lediv1 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6054, 55, 59mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6158, 60sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6257, 61mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6347, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14
65 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
66 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6766oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6865, 67opeq12d 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69 opex 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7068, 23, 69fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7170fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7330, 72op2nd 6145 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7471, 73syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14
7664, 75breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . 13
77 ssbl 17987 . . . . . . . . . . . . 13
7837, 43, 50, 53, 76, 77syl221anc 1193 . . . . . . . . . . . 12
7928ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14
80 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15
8580, 83, 17, 84ovmpt2 5999 . . . . . . . . . . . . . 14
8643, 79, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
8770fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8830, 72op1st 6144 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8987, 88syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14
9190oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13
9286, 91eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12
93 1st2nd2 6175 . . . . . . . . . . . . . . 15
9441, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
9594fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13
96 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . 13
9795, 96syl6reqr 2347 . . . . . . . . . . . 12
9878, 92, 973sstr3d 3233 . . . . . . . . . . 11
999mopntop 18002 . . . . . . . . . . . . . 14
10037, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
101 blssm 17984 . . . . . . . . . . . . . . 15
10237, 43, 53, 101syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
1039mopnuni 18003 . . . . . . . . . . . . . . 15
10437, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
105102, 97, 1043sstr3d 3233 . . . . . . . . . . . . 13
106 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14
107106sscls 16809 . . . . . . . . . . . . 13
108100, 105, 107syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
10997fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14
11012ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110rpxrd 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15
112 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
1139blsscls 18069 . . . . . . . . . . . . . . 15
11437, 43, 53, 111, 112, 113syl23anc 1189 . . . . . . . . . . . . . 14
115109, 114eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . . . 13
116 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . 15
117116ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
118 heibor.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1199, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22, 23heiborlem6 26643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1204, 38, 119, 9caublcls 18750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1211203expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122118, 121mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123122imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124123ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . 15
125115, 124sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . 14
126 blhalf 17976 . . . . . . . . . . . . . 14
12737, 43, 117, 125, 126syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13
128115, 127sstrd 3202 . . . . . . . . . . . 12
129108, 128sstrd 3202 . . . . . . . . . . 11
13098, 129sstrd 3202 . . . . . . . . . 10
131 sstr2 3199 . . . . . . . . . 10
132130, 131syl 15 . . . . . . . . 9
133 unisng 3860 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1346, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
135134sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . 14
136135biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13
1376snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139138elpw 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140137, 139sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15
141 snfi 6957 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142141a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
143 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . 15
144140, 142, 143sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14
145 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146145sseq2d 3219 . . . . . . . . . . . . . . 15
147146rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . 14
148144, 147sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13
149136, 148syldan 456 . . . . . . . . . . . 12
150 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14
151 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152151rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15
153152notbid 285 . . . . . . . . . . . . . 14
154150, 153, 15elab2 2930 . . . . . . . . . . . . 13
155154con2bii 322 . . . . . . . . . . . 12
156149, 155sylib 188 . . . . . . . . . . 11
157156ex 423 . . . . . . . . . 10
158157ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
159132, 158syld 40 . . . . . . . 8
16036, 159mt2d 109 . . . . . . 7
161160exp32 588 . . . . . 6
162161rexlimdv 2679 . . . . 5
16327, 162mpd 14 . . . 4
164163nrexdv 2659 . . 3
16511, 164pm2.65i 165 . 2
166165pm2.21i 123 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cin 3164   wss 3165  cif 3578  cpw 3638  csn 3653  cop 3656  cuni 3843  ciun 3921   class class class wbr 4039  copab 4092   cmpt 4093   cxp 4703   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1st 6136  c2nd 6137  cfn 6879  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  c3 9812  cn0 9981  crp 10370   cseq 11062  cexp 11120  cxmt 16385  cme 16386  cbl 16387  cmopn 16388  ctop 16647  ccl 16771  clm 16972  cms 18696 This theorem is referenced by:  heiborlem9  26646 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-lm 16975  df-cmet 18699
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