Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem8 Structured version   Unicode version

Theorem heiborlem8 26527
 Description: Lemma for heibor 26530. The previous lemmas establish that the sequence is Cauchy, so using completeness we now consider the convergent point . By assumption, is an open cover, so is an element of some , and some ball centered at is contained in . But the sequence contains arbitrarily small balls close to , so some element of the sequence is contained in . And finally we arrive at a contradiction, because is a finite subcover of that covers , yet . For convenience, we write this contradiction as where is all the accumulated hypotheses and is anything at all. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1
heibor.3
heibor.4
heibor.5
heibor.6
heibor.7
heibor.8
heibor.9
heibor.10
heibor.11
heibor.12
heibor.13
heibor.14
heibor.15
heibor.16
heibor.17
Assertion
Ref Expression
heiborlem8
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   ,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,,,)   (,,,,)   (,)   (,)   (,)   ()   (,,)   (,,,,,)   (,,)   (,)   (,,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem heiborlem8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.6 . . . 4
2 cmetmet 19239 . . . 4
3 metxmet 18364 . . . 4
41, 2, 33syl 19 . . 3
5 heibor.13 . . . 4
6 heibor.16 . . . 4
75, 6sseldd 3349 . . 3
8 heibor.15 . . 3
9 heibor.1 . . . 4
109mopni2 18523 . . 3
114, 7, 8, 10syl3anc 1184 . 2
12 rphalfcl 10636 . . . . . 6
13 breq2 4216 . . . . . . . 8
1413rexbidv 2726 . . . . . . 7
15 heibor.3 . . . . . . . 8
16 heibor.4 . . . . . . . 8
17 heibor.5 . . . . . . . 8
18 heibor.7 . . . . . . . 8
19 heibor.8 . . . . . . . 8
20 heibor.9 . . . . . . . 8
21 heibor.10 . . . . . . . 8
22 heibor.11 . . . . . . . 8
23 heibor.12 . . . . . . . 8
249, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22, 23heiborlem7 26526 . . . . . . 7
2514, 24vtoclri 3026 . . . . . 6
2612, 25syl 16 . . . . 5
2726adantl 453 . . . 4
28 nnnn0 10228 . . . . . . 7
299, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22heiborlem4 26523 . . . . . . . 8
30 fvex 5742 . . . . . . . . . 10
31 vex 2959 . . . . . . . . . 10
329, 15, 16, 30, 31heiborlem2 26521 . . . . . . . . 9
3332simp3bi 974 . . . . . . . 8
3429, 33syl 16 . . . . . . 7
3528, 34sylan2 461 . . . . . 6
3635ad2ant2r 728 . . . . 5
374ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
389, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22, 23heiborlem5 26524 . . . . . . . . . . . . 13
3938ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . 12
4039ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . 11
41 xp1st 6376 . . . . . . . . . . 11
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10
43 2nn 10133 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . . . . . . 15
4543, 28, 44sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
4645nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . . 13
4746rpreccld 10658 . . . . . . . . . . . 12
4847ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11
4948rpxrd 10649 . . . . . . . . . 10
50 xp2nd 6377 . . . . . . . . . . . 12
5140, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11
5251rpxrd 10649 . . . . . . . . . 10
53 1re 9090 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 3re 10071 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 1lt3 10144 . . . . . . . . . . . . . . 15
5653, 54, 55ltleii 9196 . . . . . . . . . . . . . 14
57 elrp 10614 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 lediv1 9875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5953, 54, 58mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15
6057, 59sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14
6156, 60mpbii 203 . . . . . . . . . . . . 13
6246, 61syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6362ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11
64 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6665oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6764, 66opeq12d 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 opex 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15
6967, 23, 68fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . 14
7069fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13
71 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . 14
7230, 71op2nd 6356 . . . . . . . . . . . . 13
7370, 72syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . 12
7473ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11
7563, 74breqtrrd 4238 . . . . . . . . . 10
76 ssbl 18453 . . . . . . . . . 10
7737, 42, 49, 52, 75, 76syl221anc 1195 . . . . . . . . 9
7828ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11
79 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12
80 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14
8180oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13
8281oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12
83 ovex 6106 . . . . . . . . . . . 12
8479, 82, 17, 83ovmpt2 6209 . . . . . . . . . . 11
8542, 78, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
8669fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13
8730, 71op1st 6355 . . . . . . . . . . . . 13
8886, 87syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . 12
8988ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11
9089oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10
9185, 90eqtr3d 2470 . . . . . . . . 9
92 1st2nd2 6386 . . . . . . . . . . . 12
9340, 92syl 16 . . . . . . . . . . 11
9493fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
95 df-ov 6084 . . . . . . . . . 10
9694, 95syl6reqr 2487 . . . . . . . . 9
9777, 91, 963sstr3d 3390 . . . . . . . 8
989mopntop 18470 . . . . . . . . . . 11
9937, 98syl 16 . . . . . . . . . 10
100 blssm 18448 . . . . . . . . . . . 12
10137, 42, 52, 100syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
1029mopnuni 18471 . . . . . . . . . . . 12
10337, 102syl 16 . . . . . . . . . . 11
104101, 96, 1033sstr3d 3390 . . . . . . . . . 10
105 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
106105sscls 17120 . . . . . . . . . 10
10799, 104, 106syl2anc 643 . . . . . . . . 9
10896fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
10912ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13
110109rpxrd 10649 . . . . . . . . . . . 12
111 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12
1129blsscls 18537 . . . . . . . . . . . 12
11337, 42, 52, 110, 111, 112syl23anc 1191 . . . . . . . . . . 11
114108, 113eqsstr3d 3383 . . . . . . . . . 10
115 rpre 10618 . . . . . . . . . . . 12
116115ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11
117 heibor.17 . . . . . . . . . . . . . . 15
1189, 15, 16, 17, 1, 18, 19, 20, 21, 22, 23heiborlem6 26525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1194, 38, 118, 9caublcls 19261 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1201193expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15
121117, 120mpdan 650 . . . . . . . . . . . . . 14
122121imp 419 . . . . . . . . . . . . 13
123122ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . 12
124114, 123sseldd 3349 . . . . . . . . . . 11
125 blhalf 18435 . . . . . . . . . . 11
12637, 42, 116, 124, 125syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10
127114, 126sstrd 3358 . . . . . . . . 9
128107, 127sstrd 3358 . . . . . . . 8
12997, 128sstrd 3358 . . . . . . 7
130 sstr2 3355 . . . . . . 7
131129, 130syl 16 . . . . . 6
132 unisng 4032 . . . . . . . . . . . . 13
1336, 132syl 16 . . . . . . . . . . . 12
134133sseq2d 3376 . . . . . . . . . . 11
135134biimpar 472 . . . . . . . . . 10
1366snssd 3943 . . . . . . . . . . . . 13
137 snex 4405 . . . . . . . . . . . . . 14
138137elpw 3805 . . . . . . . . . . . . 13
139136, 138sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12
140 snfi 7187 . . . . . . . . . . . . 13
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
142 elin 3530 . . . . . . . . . . . 12
143139, 141, 142sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11
144 unieq 4024 . . . . . . . . . . . . 13
145144sseq2d 3376 . . . . . . . . . . . 12
146145rspcev 3052 . . . . . . . . . . 11
147143, 146sylan 458 . . . . . . . . . 10
148135, 147syldan 457 . . . . . . . . 9
149 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11
150 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . 13
151150rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . 12
152151notbid 286 . . . . . . . . . . 11
153149, 152, 15elab2 3085 . . . . . . . . . 10
154153con2bii 323 . . . . . . . . 9
155148, 154sylib 189 . . . . . . . 8
156155ex 424 . . . . . . 7
157156ad2antrr 707 . . . . . 6
158131, 157syld 42 . . . . 5
15936, 158mt2d 111 . . . 4
16027, 159rexlimddv 2834 . . 3
161160nrexdv 2809 . 2
16211, 161pm2.21dd 101 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  cif 3739  cpw 3799  csn 3814  cop 3817  cuni 4015  ciun 4093   class class class wbr 4212  copab 4265   cmpt 4266   cxp 4876   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1st 6347  c2nd 6348  cfn 7109  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993  cxr 9119   clt 9120   cle 9121   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049  c3 10050  cn0 10221  crp 10612   cseq 11323  cexp 11382  cxmt 16686  cme 16687  cbl 16688  cmopn 16691  ctop 16958  ccl 17082  clm 17290  cms 19207 This theorem is referenced by:  heiborlem9  26528 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-lm 17293  df-cmet 19210
 Copyright terms: Public domain W3C validator