HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  helch Unicode version

Theorem helch 21823
Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 6-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
helch  |-  ~H  e.  CH

Proof of Theorem helch
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3197 . . . 4  |-  ~H  C_  ~H
2 ax-hv0cl 21583 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
31, 2pm3.2i 441 . . 3  |-  ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )
4 hvaddcl 21592 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  ~H )
54rgen2a 2609 . . . 4  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  +h  y )  e.  ~H
6 hvmulcl 21593 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  ~H )
76rgen2 2639 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  A. y  e. 
~H  ( x  .h  y )  e.  ~H
85, 7pm3.2i 441 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( x  +h  y )  e.  ~H  /\ 
A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  (
x  .h  y )  e.  ~H )
9 issh2 21788 . . 3  |-  ( ~H  e.  SH  <->  ( ( ~H  C_  ~H  /\  0h  e.  ~H )  /\  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  +h  y )  e.  ~H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ~H  ( x  .h  y )  e.  ~H ) ) )
103, 8, 9mpbir2an 886 . 2  |-  ~H  e.  SH
11 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1211hlimveci 21769 . . . 4  |-  ( f 
~~>v  x  ->  x  e.  ~H )
1312adantl 452 . . 3  |-  ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
1413gen2 1534 . 2  |-  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
15 isch2 21803 . 2  |-  ( ~H  e.  CH  <->  ( ~H  e.  SH  /\  A. f A. x ( ( f : NN --> ~H  /\  f  ~~>v  x )  ->  x  e.  ~H )
) )
1610, 14, 15mpbir2an 886 1  |-  ~H  e.  CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251  (class class class)co 5858   CCcc 8735   NNcn 9746   ~Hchil 21499    +h cva 21500    .h csm 21501   0hc0v 21504    ~~>v chli 21507   SHcsh 21508   CHcch 21509
This theorem is referenced by:  helsh  21824  pjhth  21972  ococ  21985  ococin  21987  pjoc1  22013  chj1i  22068  chincl  22078  chsscon3  22079  chjo  22094  chdmm1  22104  chjass  22112  hne0  22126  pjoml3  22191  osum  22224  spansnj  22226  spansncv  22232  pjch1  22249  pjo  22250  pjsslem  22258  pjcjt2  22271  pjch  22273  pjopyth  22299  pjnorm  22303  pjpyth  22304  pjnel  22305  ho0val  22330  dfiop2  22333  hoid1i  22369  hoid1ri  22370  pjtoi  22759  pjoci  22760  pjclem3  22777  hst0  22813  st0  22829  strlem3a  22832  hstrlem3a  22840  stcltr2i  22855  cvmd  22916  chrelat2  22950  cvexch  22954  mdsym  22992
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hv0cl 21583  ax-hfvmul 21585
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-map 6774  df-nn 9747  df-hlim 21552  df-sh 21786  df-ch 21801
  Copyright terms: Public domain W3C validator