Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfelhf Unicode version

Theorem hfelhf 26034
Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfelhf  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfelhf
StepHypRef Expression
1 rankelg 26021 . . 3  |-  ( ( B  e. Hf  /\  A  e.  B )  ->  ( rank `  A )  e.  ( rank `  B
) )
21ancoms 440 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  (
rank `  A )  e.  ( rank `  B
) )
3 elhf2g 26029 . . . 4  |-  ( B  e. Hf  ->  ( B  e. Hf 
<->  ( rank `  B
)  e.  om )
)
43ibi 233 . . 3  |-  ( B  e. Hf  ->  ( rank `  B )  e.  om )
5 elnn 4822 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  B )  /\  ( rank `  B )  e. 
om )  ->  ( rank `  A )  e. 
om )
6 elhf2g 26029 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e. Hf  <->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
75, 6syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  B )  /\  ( rank `  B )  e. 
om )  ->  A  e. Hf  ) )
87exp3acom23 1378 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rank `  B )  e.  om  ->  ( ( rank `  A )  e.  ( rank `  B
)  ->  A  e. Hf  ) ) )
98imp 419 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( rank `  B )  e.  om )  ->  (
( rank `  A )  e.  ( rank `  B
)  ->  A  e. Hf  ) )
104, 9sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  B )  ->  A  e. Hf  ) )
112, 10mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  A  e. Hf  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   omcom 4812   ` cfv 5421   rankcrnk 7653   Hf chf 26025
This theorem is referenced by:  hftr  26035  hfext  26036
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-reg 7524  ax-inf2 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-r1 7654  df-rank 7655  df-hf 26026
  Copyright terms: Public domain W3C validator