Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfelhf Unicode version

Theorem hfelhf 25553
Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfelhf  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfelhf
StepHypRef Expression
1 rankelg 25540 . . 3  |-  ( ( B  e. Hf  /\  A  e.  B )  ->  ( rank `  A )  e.  ( rank `  B
) )
21ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  (
rank `  A )  e.  ( rank `  B
) )
3 elhf2g 25548 . . . 4  |-  ( B  e. Hf  ->  ( B  e. Hf 
<->  ( rank `  B
)  e.  om )
)
43ibi 232 . . 3  |-  ( B  e. Hf  ->  ( rank `  B )  e.  om )
5 elnn 4769 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  B )  /\  ( rank `  B )  e. 
om )  ->  ( rank `  A )  e. 
om )
6 elhf2g 25548 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e. Hf  <->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
75, 6syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  B )  /\  ( rank `  B )  e. 
om )  ->  A  e. Hf  ) )
87exp3acom23 1377 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rank `  B )  e.  om  ->  ( ( rank `  A )  e.  ( rank `  B
)  ->  A  e. Hf  ) ) )
98imp 418 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( rank `  B )  e.  om )  ->  (
( rank `  A )  e.  ( rank `  B
)  ->  A  e. Hf  ) )
104, 9sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  B )  ->  A  e. Hf  ) )
112, 10mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  A  e. Hf  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1715   omcom 4759   ` cfv 5358   rankcrnk 7582   Hf chf 25544
This theorem is referenced by:  hftr  25554  hfext  25555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-reg 7453  ax-inf2 7489
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-r1 7583  df-rank 7584  df-hf 25545
  Copyright terms: Public domain W3C validator