Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfelhf Structured version   Unicode version

Theorem hfelhf 26157
Description: Any member of an HF set is itself an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfelhf  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfelhf
StepHypRef Expression
1 rankelg 26144 . . 3  |-  ( ( B  e. Hf  /\  A  e.  B )  ->  ( rank `  A )  e.  ( rank `  B
) )
21ancoms 441 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  (
rank `  A )  e.  ( rank `  B
) )
3 elhf2g 26152 . . . 4  |-  ( B  e. Hf  ->  ( B  e. Hf 
<->  ( rank `  B
)  e.  om )
)
43ibi 234 . . 3  |-  ( B  e. Hf  ->  ( rank `  B )  e.  om )
5 elnn 4890 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  B )  /\  ( rank `  B )  e. 
om )  ->  ( rank `  A )  e. 
om )
6 elhf2g 26152 . . . . . 6  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e. Hf  <->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
75, 6syl5ibr 214 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  B )  /\  ( rank `  B )  e. 
om )  ->  A  e. Hf  ) )
87exp3acom23 1382 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  (
( rank `  B )  e.  om  ->  ( ( rank `  A )  e.  ( rank `  B
)  ->  A  e. Hf  ) ) )
98imp 420 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  ( rank `  B )  e.  om )  ->  (
( rank `  A )  e.  ( rank `  B
)  ->  A  e. Hf  ) )
104, 9sylan2 462 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  ( ( rank `  A
)  e.  ( rank `  B )  ->  A  e. Hf  ) )
112, 10mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  A  e. Hf  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1728   omcom 4880   ` cfv 5489   rankcrnk 7725   Hf chf 26148
This theorem is referenced by:  hftr  26158  hfext  26159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-reg 7596  ax-inf2 7632
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-r1 7726  df-rank 7727  df-hf 26149
  Copyright terms: Public domain W3C validator