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Theorem hfext 24813
Description: Extensionality for HF sets depends only on comparison of HF elements. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfext  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e. Hf  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem hfext
StepHypRef Expression
1 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2 eldif 3162 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( _V  \ Hf  ) 
<->  ( x  e.  _V  /\ 
-.  x  e. Hf  )
)
31, 2mpbiran 884 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( _V  \ Hf  ) 
<->  -.  x  e. Hf  )
4 hfelhf 24811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  A  e. Hf  )  ->  x  e. Hf  )
54expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. Hf  ->  ( x  e.  A  ->  x  e. Hf  ) )
65con3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Hf  ->  ( -.  x  e. Hf  ->  -.  x  e.  A ) )
76imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Hf  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  A )
87adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  A
)
9 hfelhf 24811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  B  e. Hf  )  ->  x  e. Hf  )
109expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. Hf  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. Hf  ) )
1110con3d 125 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. Hf  ->  ( -.  x  e. Hf  ->  -.  x  e.  B ) )
1211imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e. Hf  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  B )
1312adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  -.  x  e.  B
)
148, 132falsed 340 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  -.  x  e. Hf  )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
153, 14sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  /\  x  e.  ( _V  \ Hf  ) )  ->  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1615ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1716biantrud 493 . 2  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  /\  A. x  e.  ( _V 
\ Hf  ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) ) )
18 dfcleq 2277 . . 3  |-  ( A  =  B  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
19 undifv 3528 . . . . 5  |-  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) )  =  _V
20 raleq 2736 . . . . 5  |-  ( ( Hf 
u.  ( _V  \ Hf  ) )  =  _V  ->  ( A. x  e.  ( Hf  u.  ( _V 
\ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  A. x  e.  _V  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) ) )
2119, 20ax-mp 8 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  A. x  e.  _V  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
) )
22 ralv 2801 . . . 4  |-  ( A. x  e.  _V  (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  A. x
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
2321, 22bitr2i 241 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  A. x  e.  ( Hf 
u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
24 ralunb 3356 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( Hf  u.  ( _V  \ Hf  ) ) ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
2518, 23, 243bitri 262 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A. x  e. Hf  ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  /\  A. x  e.  ( _V  \ Hf  )
( x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
2617, 25syl6rbbr 255 1  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e. Hf  (
x  e.  A  <->  x  e.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150   Hf chf 24802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-r1 7436  df-rank 7437  df-hf 24803
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