Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Unicode version

Theorem hfninf 24888
Description:  om is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf  |-  -.  om  e. Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 ordom 4681 . . . 4  |-  Ord  om
2 ordirr 4426 . . . 4  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  -.  om  e.  om
4 elhf2g 24878 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  ( rank `  om )  e.  om )
)
5 elong 4416 . . . . . . 7  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e.  On  <->  Ord  om ) )
61, 5mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( om  e. Hf  ->  om  e.  On )
7 r111 7463 . . . . . . . . 9  |-  R1 : On
-1-1-> _V
8 f1dm 5457 . . . . . . . . 9  |-  ( R1 : On -1-1-> _V  ->  dom 
R1  =  On )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  dom  R1  =  On
109eleq2i 2360 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  om  e.  On )
11 rankonid 7517 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
1210, 11bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
136, 12sylib 188 . . . . 5  |-  ( om  e. Hf  ->  ( rank ` 
om )  =  om )
1413eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( ( rank `  om )  e. 
om 
<->  om  e.  om )
)
154, 14bitrd 244 . . 3  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  om  e.  om )
)
163, 15mtbiri 294 . 2  |-  ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )
17 pm2.01 160 . 2  |-  ( ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )  ->  -.  om  e. Hf  )
1816, 17ax-mp 8 1  |-  -.  om  e. Hf
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   Ord word 4407   Oncon0 4408   omcom 4672   dom cdm 4705   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271   R1cr1 7450   rankcrnk 7451   Hf chf 24874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-r1 7452  df-rank 7453  df-hf 24875
  Copyright terms: Public domain W3C validator