Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Structured version   Unicode version

Theorem hfninf 26119
Description:  om is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf  |-  -.  om  e. Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 elirr 7558 . . 3  |-  -.  om  e.  om
2 elhf2g 26109 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  ( rank `  om )  e.  om )
)
3 ordom 4846 . . . . . . 7  |-  Ord  om
4 elong 4581 . . . . . . 7  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e.  On  <->  Ord  om ) )
53, 4mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( om  e. Hf  ->  om  e.  On )
6 r111 7693 . . . . . . . . 9  |-  R1 : On
-1-1-> _V
7 f1dm 5635 . . . . . . . . 9  |-  ( R1 : On -1-1-> _V  ->  dom 
R1  =  On )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  dom  R1  =  On
98eleq2i 2499 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  om  e.  On )
10 rankonid 7747 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
119, 10bitr3i 243 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
125, 11sylib 189 . . . . 5  |-  ( om  e. Hf  ->  ( rank ` 
om )  =  om )
1312eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( ( rank `  om )  e. 
om 
<->  om  e.  om )
)
142, 13bitrd 245 . . 3  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  om  e.  om )
)
151, 14mtbiri 295 . 2  |-  ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )
16 pm2.01 162 . 2  |-  ( ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )  ->  -.  om  e. Hf  )
1715, 16ax-mp 8 1  |-  -.  om  e. Hf
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   Ord word 4572   Oncon0 4573   omcom 4837   dom cdm 4870   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446   R1cr1 7680   rankcrnk 7681   Hf chf 26105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-r1 7682  df-rank 7683  df-hf 26106
  Copyright terms: Public domain W3C validator