Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Unicode version

Theorem hfninf 24816
Description:  om is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf  |-  -.  om  e. Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 ordom 4665 . . . 4  |-  Ord  om
2 ordirr 4410 . . . 4  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  -.  om  e.  om
4 elhf2g 24806 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  ( rank `  om )  e.  om )
)
5 elong 4400 . . . . . . 7  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e.  On  <->  Ord  om ) )
61, 5mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( om  e. Hf  ->  om  e.  On )
7 r111 7447 . . . . . . . . 9  |-  R1 : On
-1-1-> _V
8 f1dm 5441 . . . . . . . . 9  |-  ( R1 : On -1-1-> _V  ->  dom 
R1  =  On )
97, 8ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  dom  R1  =  On
109eleq2i 2347 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  om  e.  On )
11 rankonid 7501 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
1210, 11bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
136, 12sylib 188 . . . . 5  |-  ( om  e. Hf  ->  ( rank ` 
om )  =  om )
1413eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( ( rank `  om )  e. 
om 
<->  om  e.  om )
)
154, 14bitrd 244 . . 3  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  om  e.  om )
)
163, 15mtbiri 294 . 2  |-  ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )
17 pm2.01 160 . 2  |-  ( ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )  ->  -.  om  e. Hf  )
1816, 17ax-mp 8 1  |-  -.  om  e. Hf
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   Ord word 4391   Oncon0 4392   omcom 4656   dom cdm 4689   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255   R1cr1 7434   rankcrnk 7435   Hf chf 24802
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-r1 7436  df-rank 7437  df-hf 24803
  Copyright terms: Public domain W3C validator