Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfninf Unicode version

Theorem hfninf 25843
Description:  om is not hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfninf  |-  -.  om  e. Hf

Proof of Theorem hfninf
StepHypRef Expression
1 elirr 7501 . . 3  |-  -.  om  e.  om
2 elhf2g 25833 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  ( rank `  om )  e.  om )
)
3 ordom 4796 . . . . . . 7  |-  Ord  om
4 elong 4532 . . . . . . 7  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e.  On  <->  Ord  om ) )
53, 4mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( om  e. Hf  ->  om  e.  On )
6 r111 7636 . . . . . . . . 9  |-  R1 : On
-1-1-> _V
7 f1dm 5585 . . . . . . . . 9  |-  ( R1 : On -1-1-> _V  ->  dom 
R1  =  On )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  dom  R1  =  On
98eleq2i 2453 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  om  e.  On )
10 rankonid 7690 . . . . . . 7  |-  ( om  e.  dom  R1  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
119, 10bitr3i 243 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  <->  ( rank ` 
om )  =  om )
125, 11sylib 189 . . . . 5  |-  ( om  e. Hf  ->  ( rank ` 
om )  =  om )
1312eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( om  e. Hf  ->  ( ( rank `  om )  e. 
om 
<->  om  e.  om )
)
142, 13bitrd 245 . . 3  |-  ( om  e. Hf  ->  ( om  e. Hf 
<->  om  e.  om )
)
151, 14mtbiri 295 . 2  |-  ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )
16 pm2.01 162 . 2  |-  ( ( om  e. Hf  ->  -.  om  e. Hf  )  ->  -.  om  e. Hf  )
1715, 16ax-mp 8 1  |-  -.  om  e. Hf
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   Ord word 4523   Oncon0 4524   omcom 4787   dom cdm 4820   -1-1->wf1 5393   ` cfv 5396   R1cr1 7623   rankcrnk 7624   Hf chf 25829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-reg 7495  ax-inf2 7531
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-r1 7625  df-rank 7626  df-hf 25830
  Copyright terms: Public domain W3C validator