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Theorem hfun 24880
Description: The union of two HF sets is an HF set. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfun  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  u.  B )  e. Hf  )

Proof of Theorem hfun
StepHypRef Expression
1 rankung 24868 . . 3  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
2 elhf2g 24878 . . . . 5  |-  ( A  e. Hf  ->  ( A  e. Hf 
<->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
32ibi 232 . . . 4  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  A )  e.  om )
4 elhf2g 24878 . . . . 5  |-  ( B  e. Hf  ->  ( B  e. Hf 
<->  ( rank `  B
)  e.  om )
)
54ibi 232 . . . 4  |-  ( B  e. Hf  ->  ( rank `  B )  e.  om )
6 nnord 4680 . . . . . . 7  |-  ( (
rank `  A )  e.  om  ->  Ord  ( rank `  A ) )
7 nnord 4680 . . . . . . 7  |-  ( (
rank `  B )  e.  om  ->  Ord  ( rank `  B ) )
8 ordtri2or2 4505 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  ( rank `  A
)  /\  Ord  ( rank `  B ) )  -> 
( ( rank `  A
)  C_  ( rank `  B )  \/  ( rank `  B )  C_  ( rank `  A )
) )
96, 7, 8syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  om  /\  ( rank `  B )  e.  om )  ->  (
( rank `  A )  C_  ( rank `  B
)  \/  ( rank `  B )  C_  ( rank `  A ) ) )
10 ssequn1 3358 . . . . . . 7  |-  ( (
rank `  A )  C_  ( rank `  B
)  <->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  =  ( rank `  B
) )
11 ssequn1 3358 . . . . . . 7  |-  ( (
rank `  B )  C_  ( rank `  A
)  <->  ( ( rank `  B )  u.  ( rank `  A ) )  =  ( rank `  A
) )
1210, 11orbi12i 507 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  C_  ( rank `  B )  \/  ( rank `  B )  C_  ( rank `  A )
)  <->  ( ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  =  (
rank `  B )  \/  ( ( rank `  B
)  u.  ( rank `  A ) )  =  ( rank `  A
) ) )
139, 12sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  om  /\  ( rank `  B )  e.  om )  ->  (
( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  =  ( rank `  B
)  \/  ( (
rank `  B )  u.  ( rank `  A
) )  =  (
rank `  A )
) )
14 eleq1a 2365 . . . . . . 7  |-  ( (
rank `  B )  e.  om  ->  ( (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  =  (
rank `  B )  ->  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
om ) )
1514adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  om  /\  ( rank `  B )  e.  om )  ->  (
( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  =  ( rank `  B
)  ->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  om ) )
16 uncom 3332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  B )  u.  ( rank `  A
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
1716eqeq1i 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  B
)  u.  ( rank `  A ) )  =  ( rank `  A
)  <->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  =  ( rank `  A
) )
1817biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rank `  B
)  u.  ( rank `  A ) )  =  ( rank `  A
)  ->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  =  (
rank `  A )
)
1918eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  B
)  u.  ( rank `  A ) )  =  ( rank `  A
)  ->  ( (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  om  <->  (
rank `  A )  e.  om ) )
2019biimprcd 216 . . . . . . 7  |-  ( (
rank `  A )  e.  om  ->  ( (
( rank `  B )  u.  ( rank `  A
) )  =  (
rank `  A )  ->  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e. 
om ) )
2120adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  om  /\  ( rank `  B )  e.  om )  ->  (
( ( rank `  B
)  u.  ( rank `  A ) )  =  ( rank `  A
)  ->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  om ) )
2215, 21jaod 369 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  om  /\  ( rank `  B )  e.  om )  ->  (
( ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  =  ( rank `  B
)  \/  ( (
rank `  B )  u.  ( rank `  A
) )  =  (
rank `  A )
)  ->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  om ) )
2313, 22mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  om  /\  ( rank `  B )  e.  om )  ->  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  om )
243, 5, 23syl2an 463 . . 3  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  om )
251, 24eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  om )
26 unexg 4537 . . 3  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
27 elhf2g 24878 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  _V  ->  (
( A  u.  B
)  e. Hf  <->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  om )
)
2826, 27syl 15 . 2  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( ( A  u.  B )  e. Hf 
<->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  om )
)
2925, 28mpbird 223 1  |-  ( ( A  e. Hf  /\  B  e. Hf  )  ->  ( A  u.  B )  e. Hf  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   Ord word 4407   omcom 4672   ` cfv 5271   rankcrnk 7451   Hf chf 24874
This theorem is referenced by:  hfadj  24882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-r1 7452  df-rank 7453  df-hf 24875
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