Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfuni Structured version   Unicode version

Theorem hfuni 26125
Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfuni  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfuni
StepHypRef Expression
1 rankuni 7789 . . 3  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
2 rankon 7721 . . . . . 6  |-  ( rank `  A )  e.  On
32ontrci 4687 . . . . 5  |-  Tr  ( rank `  A )
4 df-tr 4303 . . . . 5  |-  ( Tr  ( rank `  A
)  <->  U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A ) )
53, 4mpbi 200 . . . 4  |-  U. ( rank `  A )  C_  ( rank `  A )
6 elhf2g 26117 . . . . 5  |-  ( A  e. Hf  ->  ( A  e. Hf 
<->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
76ibi 233 . . . 4  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  A )  e.  om )
8 rankon 7721 . . . . . . 7  |-  ( rank `  U. A )  e.  On
91, 8eqeltrri 2507 . . . . . 6  |-  U. ( rank `  A )  e.  On
109onordi 4686 . . . . 5  |-  Ord  U. ( rank `  A )
11 ordom 4854 . . . . 5  |-  Ord  om
12 ordtr2 4625 . . . . 5  |-  ( ( Ord  U. ( rank `  A )  /\  Ord  om )  ->  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om ) )
1310, 11, 12mp2an 654 . . . 4  |-  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
145, 7, 13sylancr 645 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
151, 14syl5eqel 2520 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om )
16 uniexg 4706 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. 
_V )
17 elhf2g 26117 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank `  U. A )  e.  om ) )
1915, 18mpbird 224 1  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   U.cuni 4015   Tr wtr 4302   Ord word 4580   Oncon0 4581   omcom 4845   ` cfv 5454   rankcrnk 7689   Hf chf 26113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-r1 7690  df-rank 7691  df-hf 26114
  Copyright terms: Public domain W3C validator