Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hfuni Unicode version

Theorem hfuni 24886
Description: The union of an HF set is itself hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
hfuni  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )

Proof of Theorem hfuni
StepHypRef Expression
1 rankuni 7551 . . 3  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
2 rankon 7483 . . . . . 6  |-  ( rank `  A )  e.  On
32ontrci 4514 . . . . 5  |-  Tr  ( rank `  A )
4 df-tr 4130 . . . . 5  |-  ( Tr  ( rank `  A
)  <->  U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A ) )
53, 4mpbi 199 . . . 4  |-  U. ( rank `  A )  C_  ( rank `  A )
6 elhf2g 24878 . . . . 5  |-  ( A  e. Hf  ->  ( A  e. Hf 
<->  ( rank `  A
)  e.  om )
)
76ibi 232 . . . 4  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank `  A )  e.  om )
8 rankon 7483 . . . . . . 7  |-  ( rank `  U. A )  e.  On
91, 8eqeltrri 2367 . . . . . 6  |-  U. ( rank `  A )  e.  On
109onordi 4513 . . . . 5  |-  Ord  U. ( rank `  A )
11 ordom 4681 . . . . 5  |-  Ord  om
12 ordtr2 4452 . . . . 5  |-  ( ( Ord  U. ( rank `  A )  /\  Ord  om )  ->  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om ) )
1310, 11, 12mp2an 653 . . . 4  |-  ( ( U. ( rank `  A
)  C_  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
om )  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
145, 7, 13sylancr 644 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. ( rank `  A )  e. 
om )
151, 14syl5eqel 2380 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om )
16 uniexg 4533 . . 3  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. 
_V )
17 elhf2g 24878 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank ` 
U. A )  e. 
om ) )
1816, 17syl 15 . 2  |-  ( A  e. Hf  ->  ( U. A  e. Hf  <->  ( rank `  U. A )  e.  om ) )
1915, 18mpbird 223 1  |-  ( A  e. Hf  ->  U. A  e. Hf  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843   Tr wtr 4129   Ord word 4407   Oncon0 4408   omcom 4672   ` cfv 5271   rankcrnk 7451   Hf chf 24874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-r1 7452  df-rank 7453  df-hf 24875
  Copyright terms: Public domain W3C validator