Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgmapcl Unicode version

Theorem hgmapcl 32141
Description: Closure of scalar sigma map i.e. the map from the vector space scalar base to the dual space scalar base. (Contributed by NM, 6-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hgmapcl.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
hgmapcl.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
hgmapcl.r  |-  R  =  (Scalar `  U )
hgmapcl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
hgmapcl.g  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
hgmapcl.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
hgmapcl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
hgmapcl  |-  ( ph  ->  ( G `  F
)  e.  B )

Proof of Theorem hgmapcl
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hgmapcl.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 hgmapcl.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 eqid 2366 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
4 eqid 2366 . . 3  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
5 hgmapcl.r . . 3  |-  R  =  (Scalar `  U )
6 hgmapcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 eqid 2366 . . 3  |-  ( (LCDual `  K ) `  W
)  =  ( (LCDual `  K ) `  W
)
8 eqid 2366 . . 3  |-  ( .s
`  ( (LCDual `  K ) `  W
) )  =  ( .s `  ( (LCDual `  K ) `  W
) )
9 eqid 2366 . . 3  |-  ( (HDMap `  K ) `  W
)  =  ( (HDMap `  K ) `  W
)
10 hgmapcl.g . . 3  |-  G  =  ( (HGMap `  K
) `  W )
11 hgmapcl.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 hgmapcl.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12hgmapval 32139 . 2  |-  ( ph  ->  ( G `  F
)  =  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  ( Base `  U
) ( ( (HDMap `  K ) `  W
) `  ( F
( .s `  U
) x ) )  =  ( g ( .s `  ( (LCDual `  K ) `  W
) ) ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  x
) ) ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12hdmap14lem15 32134 . . 3  |-  ( ph  ->  E! g  e.  B  A. x  e.  ( Base `  U ) ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  ( F ( .s
`  U ) x ) )  =  ( g ( .s `  ( (LCDual `  K ) `  W ) ) ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  x ) ) )
15 riotacl 6461 . . 3  |-  ( E! g  e.  B  A. x  e.  ( Base `  U ) ( ( (HDMap `  K ) `  W ) `  ( F ( .s `  U ) x ) )  =  ( g ( .s `  (
(LCDual `  K ) `  W ) ) ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  x ) )  -> 
( iota_ g  e.  B A. x  e.  ( Base `  U ) ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  ( F ( .s
`  U ) x ) )  =  ( g ( .s `  ( (LCDual `  K ) `  W ) ) ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  x ) ) )  e.  B )
1614, 15syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ g  e.  B A. x  e.  ( Base `  U ) ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  ( F ( .s
`  U ) x ) )  =  ( g ( .s `  ( (LCDual `  K ) `  W ) ) ( ( (HDMap `  K
) `  W ) `  x ) ) )  e.  B )
1713, 16eqeltrd 2440 1  |-  ( ph  ->  ( G `  F
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E!wreu 2630   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   iota_crio 6439   Basecbs 13356  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420   HLchlt 29599   LHypclh 30232   DVecHcdvh 31327  LCDualclcd 31835  HDMapchdma 32042  HGMapchg 32135
This theorem is referenced by:  hgmapdcl  32142  hgmapvs  32143  hgmapval1  32145  hgmapmul  32147  hdmapglnm2  32163  hdmapinvlem3  32172  hdmapinvlem4  32173  hdmapglem5  32174  hgmapvvlem1  32175  hgmapvvlem2  32176  hdmapglem7  32181  hlhilsrnglem  32205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-fal 1325  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-ot 3739  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6376  df-undef 6440  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-poset 14290  df-plt 14302  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-p0 14355  df-p1 14356  df-lat 14362  df-clat 14424  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-cntz 15003  df-oppg 15029  df-lsm 15157  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-oppr 15615  df-dvdsr 15633  df-unit 15634  df-invr 15664  df-dvr 15675  df-drng 15724  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lvec 16066  df-lsatoms 29225  df-lshyp 29226  df-lcv 29268  df-lfl 29307  df-lkr 29335  df-ldual 29373  df-oposet 29425  df-ol 29427  df-oml 29428  df-covers 29515  df-ats 29516  df-atl 29547  df-cvlat 29571  df-hlat 29600  df-llines 29746  df-lplanes 29747  df-lvols 29748  df-lines 29749  df-psubsp 29751  df-pmap 29752  df-padd 30044  df-lhyp 30236  df-laut 30237  df-ldil 30352  df-ltrn 30353  df-trl 30407  df-tgrp 30991  df-tendo 31003  df-edring 31005  df-dveca 31251  df-disoa 31278  df-dvech 31328  df-dib 31388  df-dic 31422  df-dih 31478  df-doch 31597  df-djh 31644  df-lcdual 31836  df-mapd 31874  df-hvmap 32006  df-hdmap1 32043  df-hdmap 32044  df-hgmap 32136
  Copyright terms: Public domain W3C validator