HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhba Unicode version

Theorem hhba 22622
Description: The base set of Hilbert space. This theorem provides an independent proof of df-hba 22425 (see comments in that definition). (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhba  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )

Proof of Theorem hhba
StepHypRef Expression
1 hilablo 22615 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
2 ablogrpo 21825 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  +h  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  +h  e.  GrpOp
4 ax-hfvadd 22456 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
54fdmi 5555 . . 3  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
63, 5grporn 21753 . 2  |-  ~H  =  ran  +h
7 eqid 2404 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
8 hhnv.1 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
98hhva 22621 . . 3  |-  +h  =  ( +v `  U )
107, 9bafval 22036 . 2  |-  ( BaseSet `  U )  =  ran  +h
116, 10eqtr4i 2427 1  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721   <.cop 3777    X. cxp 4835   ran crn 4838   ` cfv 5413   GrpOpcgr 21727   AbelOpcablo 21822   BaseSetcba 22018   ~Hchil 22375    +h cva 22376    .h csm 22377   normhcno 22379
This theorem is referenced by:  hhvs  22625  hhmet  22629  hhmetdval  22631  hhip  22632  hhcau  22653  hhlm  22654  hhhl  22659  hhlnoi  23356  hhnmoi  23357  hh0oi  23359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-hnorm 22424  df-hvsub 22427
  Copyright terms: Public domain W3C validator