HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcmpl Structured version   Unicode version

Theorem hhcmpl 22707
Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 22709 from ZFC Hilbert space theory. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhlm.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhlm.2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
hhlm.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
hhcmpl.c  |-  ( F  e.  ( Cau `  D
)  ->  E. x  e.  ~H  F ( ~~> t `  J ) x )
Assertion
Ref Expression
hhcmpl  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hints:    D( x)    U( x)    J( x)

Proof of Theorem hhcmpl
StepHypRef Expression
1 hhcmpl.c . . . 4  |-  ( F  e.  ( Cau `  D
)  ->  E. x  e.  ~H  F ( ~~> t `  J ) x )
21anim1i 553 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Cau `  D )  /\  F  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  ->  ( E. x  e.  ~H  F ( ~~> t `  J ) x  /\  F  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
3 elin 3532 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  <-> 
( F  e.  ( Cau `  D )  /\  F  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
4 r19.41v 2863 . . 3  |-  ( E. x  e.  ~H  ( F ( ~~> t `  J ) x  /\  F  e.  ( ~H  ^m  NN ) )  <->  ( E. x  e.  ~H  F
( ~~> t `  J
) x  /\  F  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
52, 3, 43imtr4i 259 . 2  |-  ( F  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )  ->  E. x  e.  ~H  ( F ( ~~> t `  J ) x  /\  F  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
6 hhlm.1 . . . 4  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
7 hhlm.2 . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  U )
86, 7hhcau 22705 . . 3  |-  Cauchy  =  ( ( Cau `  D
)  i^i  ( ~H  ^m  NN ) )
98eleq2i 2502 . 2  |-  ( F  e.  Cauchy 
<->  F  e.  ( ( Cau `  D )  i^i  ( ~H  ^m  NN ) ) )
10 hhlm.3 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
116, 7, 10hhlm 22706 . . . . 5  |-  ~~>v  =  ( ( ~~> t `  J
)  |`  ( ~H  ^m  NN ) )
1211breqi 4221 . . . 4  |-  ( F 
~~>v  x  <->  F ( ( ~~> t `  J )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x )
13 vex 2961 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
1413brres 5155 . . . 4  |-  ( F ( ( ~~> t `  J )  |`  ( ~H  ^m  NN ) ) x  <->  ( F ( ~~> t `  J ) x  /\  F  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
1512, 14bitri 242 . . 3  |-  ( F 
~~>v  x  <->  ( F ( ~~> t `  J ) x  /\  F  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
1615rexbii 2732 . 2  |-  ( E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x 
<->  E. x  e.  ~H  ( F ( ~~> t `  J ) x  /\  F  e.  ( ~H  ^m  NN ) ) )
175, 9, 163imtr4i 259 1  |-  ( F  e.  Cauchy  ->  E. x  e.  ~H  F  ~~>v  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    i^i cin 3321   <.cop 3819   class class class wbr 4215    |` cres 4883   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ^m cmap 7021   NNcn 10005   MetOpencmopn 16696   ~~> tclm 17295   Caucca 19211   IndMetcims 22075   ~Hchil 22427    +h cva 22428    .h csm 22429   normhcno 22431   Cauchyccau 22434    ~~>v chli 22435
This theorem is referenced by:  hilcompl  22708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvmulass 22515  ax-hvdistr1 22516  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his1 22589  ax-his2 22590  ax-his3 22591  ax-his4 22592
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-lm 17298  df-cau 19214  df-grpo 21784  df-gid 21785  df-ginv 21786  df-gdiv 21787  df-ablo 21875  df-vc 22030  df-nv 22076  df-va 22079  df-ba 22080  df-sm 22081  df-0v 22082  df-vs 22083  df-nmcv 22084  df-ims 22085  df-hnorm 22476  df-hvsub 22479  df-hlim 22480  df-hcau 22481
  Copyright terms: Public domain W3C validator