Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhcnf Structured version   Unicode version

Theorem hhcnf 23408
 Description: The continuous functionals of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhcn.1
hhcn.2
hhcn.4 fld
Assertion
Ref Expression
hhcnf

Proof of Theorem hhcnf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2714 . 2
2 df-cnfn 23350 . 2
3 hhcn.1 . . . . . . . . . . . . . 14
43hilmetdval 22698 . . . . . . . . . . . . 13
5 normsub 22645 . . . . . . . . . . . . 13
64, 5eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12
76adantll 695 . . . . . . . . . . 11
87breq1d 4222 . . . . . . . . . 10
9 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . 14
10 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . 14
119, 10anim12dan 811 . . . . . . . . . . . . 13
12 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15
1312cnmetdval 18805 . . . . . . . . . . . . . 14
14 abssub 12130 . . . . . . . . . . . . . 14
1513, 14eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13
1611, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1716anassrs 630 . . . . . . . . . . 11
1817breq1d 4222 . . . . . . . . . 10
198, 18imbi12d 312 . . . . . . . . 9
2019ralbidva 2721 . . . . . . . 8
2120rexbidv 2726 . . . . . . 7
2221ralbidv 2725 . . . . . 6
2322ralbidva 2721 . . . . 5
2423pm5.32i 619 . . . 4
253hilxmet 22697 . . . . 5
26 cnxmet 18807 . . . . 5
27 hhcn.2 . . . . . 6
28 hhcn.4 . . . . . . 7 fld
2928cnfldtopn 18816 . . . . . 6
3027, 29metcn 18573 . . . . 5
3125, 26, 30mp2an 654 . . . 4
32 cnex 9071 . . . . . 6
33 ax-hilex 22502 . . . . . 6
3432, 33elmap 7042 . . . . 5
3534anbi1i 677 . . . 4
3624, 31, 353bitr4i 269 . . 3
3736abbi2i 2547 . 2
381, 2, 373eqtr4i 2466 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2705  wrex 2706  crab 2709   class class class wbr 4212   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cc 8988   clt 9120   cmin 9291  crp 10612  cabs 12039  ctopn 13649  cxmt 16686  cmopn 16691  ℂfldccnfld 16703   ccn 17288  chil 22422  cno 22426   cmv 22428  ccnfn 22456 This theorem is referenced by:  nlelchi  23564 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-hnorm 22471  df-hvsub 22474  df-cnfn 23350
 Copyright terms: Public domain W3C validator