Theorem hhip 9039

Description: The inner product operation of Hilbert space.

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.

Assertion

Ref	Expression
hhip	|- .ih = (.i` U)

Proof of Theorem hhip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hfi 8941	. . . 4 |- .ih :(H~ X. H~)-->CC
2		ffn 3633	. . . 4 |- ( .ih :(H~ X. H~)-->CC -> .ih Fn (H~ X. H~))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- .ih Fn (H~ X. H~)
4		oprex 3989	. . . 4 |- (sum_k e. (1...4)((i^k) x. ((normh` (z +h ((i^k) .h w)))^2)) / 4) e. V
5		hhnv.1	. . . . . 6 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
6	5	hhnv 9027	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
7	5	hhba 9029	. . . . . 6 |- H~ = (Base` U)
8	5	hhva 9028	. . . . . 6 |- +h = (+v` U)
9	5	hhsm 9031	. . . . . 6 |- .h = (.s` U)
10	5	hhnm 9033	. . . . . 6 |- normh = (norm` U)
11		eqid 1478	. . . . . 6 |- (.i` U) = (.i` U)
12	7, 8, 9, 10, 11	ipfval 8348	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> (.i` U) = {<.<.z, w>., v>. | ((z e. H~ /\ w e. H~) /\ v = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. ((normh` (z +h ((i^k) .h w)))^2)) / 4))})
13	6, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- (.i` U) = {<.<.z, w>., v>. | ((z e. H~ /\ w e. H~) /\ v = (sum_k e. (1...4)((i^k) x. ((normh` (z +h ((i^k) .h w)))^2)) / 4))}
14	4, 13	fnoprab2 4128	. . 3 |- (.i` U) Fn (H~ X. H~)
15		eqfnoprval 4022	. . 3 |- (( .ih Fn (H~ X. H~) /\ (.i` U) Fn (H~ X. H~)) -> ( .ih = (.i` U) <-> ((H~ X. H~) = (H~ X. H~) /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih y) = (x(.i` U)y))))
16	3, 14, 15	mp2an 699	. 2 |- ( .ih = (.i` U) <-> ((H~ X. H~) = (H~ X. H~) /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih y) = (x(.i` U)y)))
17		eqid 1478	. 2 |- (H~ X. H~) = (H~ X. H~)
18		polidt 9021	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x .ih y) = (((((normh` (x +h y))^2) - ((normh` (x -h y))^2)) + (i x. (((normh` (x +h (i .h y)))^2) - ((normh` (x -h (i .h y)))^2)))) / 4))
19	5	hhvs 9032	. . . . . 6 |- -h = (-v` U)
20	7, 8, 9, 10, 11, 19	ipval3 8355	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. H~ /\ y e. H~) -> (x(.i` U)y) = (((((normh` (x +h y))^2) - ((normh` (x -h y))^2)) + (i x. (((normh` (x +h (i .h y)))^2) - ((normh` (x -h (i .h y)))^2)))) / 4))
21	6, 20	mp3an1 905	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x(.i` U)y) = (((((normh` (x +h y))^2) - ((normh` (x -h y))^2)) + (i x. (((normh` (x +h (i .h y)))^2) - ((normh` (x -h (i .h y)))^2)))) / 4))
22	18, 21	eqtr4d 1513	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x .ih y) = (x(.i` U)y))
23	22	rgen2a 1702	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (x .ih y) = (x(.i` U)y)
24	16, 17, 23	mpbir2an 732	1 |- .ih = (.i` U)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  <.cop 2415   X. cxp 3174   Fn wfn 3183  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  {copab2 3970  CCcc 5244  1c1 5247  ici 5248   + caddc 5249   x. cmul 5251   - cmin 5304   / cdiv 5306  2c2 5963  4c4 5965  ...cfz 6468  ^cexp 6569  sum_csu 6979  NrmCVeccnv 8199  .icip 8345  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785   -h cmv 8787   .ih csp 8788  normhcno 8789

This theorem is referenced by:  bcsHIL 9042  hmopbdopHIL 9907

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-sum 6980  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ip 8346  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835

Copyright terms: Public domain