HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Unicode version

Theorem hhip 22636
Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhip  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)

Proof of Theorem hhip
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 22618 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  y
)  =  ( ( ( ( ( normh `  ( x  +h  y
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( x  -h  y ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( normh `  (
x  +h  ( _i  .h  y ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  (
_i  .h  y )
) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
2 hhnv.1 . . . . . 6  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
32hhnv 22624 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
42hhba 22626 . . . . . 6  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
52hhva 22625 . . . . . 6  |-  +h  =  ( +v `  U )
62hhsm 22628 . . . . . 6  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
72hhnm 22630 . . . . . 6  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
8 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( .i
OLD `  U )  =  ( .i OLD `  U )
92hhvs 22629 . . . . . 6  |-  -h  =  ( -v `  U )
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 22162 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
x ( .i OLD `  U ) y )  =  ( ( ( ( ( normh `  (
x  +h  y ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  y
) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( normh `  ( x  +h  ( _i  .h  y
) ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( x  -h  ( _i  .h  y
) ) ) ^
2 ) ) ) )  /  4 ) )
113, 10mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x ( .i
OLD `  U )
y )  =  ( ( ( ( (
normh `  ( x  +h  y ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( x  -h  y ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( normh `  (
x  +h  ( _i  .h  y ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  (
_i  .h  y )
) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
121, 11eqtr4d 2443 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  y
)  =  ( x ( .i OLD `  U
) y ) )
1312rgen2a 2736 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) y )
14 ax-hfi 22538 . . 3  |-  .ih  :
( ~H  X.  ~H )
--> CC
154, 8ipf 22169 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( .i OLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC )
163, 15ax-mp 8 . . 3  |-  ( .i
OLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC
17 ffn 5554 . . . 4  |-  (  .ih  : ( ~H  X.  ~H )
--> CC  ->  .ih  Fn  ( ~H  X.  ~H ) )
18 ffn 5554 . . . 4  |-  ( ( .i OLD `  U
) : ( ~H 
X.  ~H ) --> CC  ->  ( .i OLD `  U
)  Fn  ( ~H 
X.  ~H ) )
19 eqfnov2 6140 . . . 4  |-  ( ( 
.ih  Fn  ( ~H  X.  ~H )  /\  ( .i OLD `  U )  Fn  ( ~H  X.  ~H ) )  ->  (  .ih  =  ( .i OLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) y ) ) )
2017, 18, 19syl2an 464 . . 3  |-  ( ( 
.ih  : ( ~H  X.  ~H ) --> CC  /\  ( .i OLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC )  -> 
(  .ih  =  ( .i OLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) y ) ) )
2114, 16, 20mp2an 654 . 2  |-  (  .ih  =  ( .i OLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) y ) )
2213, 21mpbir 201 1  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   <.cop 3781    X. cxp 4839    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   _ici 8952    + caddc 8953    x. cmul 8955    - cmin 9251    / cdiv 9637   2c2 10009   4c4 10011   ^cexp 11341   NrmCVeccnv 22020   .i
OLDcdip 22153   ~Hchil 22379    +h cva 22380    .h csm 22381    .ih csp 22382   normhcno 22383    -h cmv 22385
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  22639  occllem  22762  hmopbdoptHIL  23448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvmulass 22467  ax-hvdistr1 22468  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-clim 12241  df-sum 12439  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ginv 21738  df-gdiv 21739  df-ablo 21827  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-vs 22035  df-nmcv 22036  df-dip 22154  df-hnorm 22428  df-hvsub 22431
  Copyright terms: Public domain W3C validator