HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhip Structured version   Unicode version

Theorem hhip 22710
Description: The inner product operation of Hilbert space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhip  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)

Proof of Theorem hhip
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 polid 22692 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  y
)  =  ( ( ( ( ( normh `  ( x  +h  y
) ) ^ 2 )  -  ( (
normh `  ( x  -h  y ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( normh `  (
x  +h  ( _i  .h  y ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  (
_i  .h  y )
) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
2 hhnv.1 . . . . . 6  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
32hhnv 22698 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
42hhba 22700 . . . . . 6  |-  ~H  =  ( BaseSet `  U )
52hhva 22699 . . . . . 6  |-  +h  =  ( +v `  U )
62hhsm 22702 . . . . . 6  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
72hhnm 22704 . . . . . 6  |-  normh  =  (
normCV
`  U )
8 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( .i
OLD `  U )  =  ( .i OLD `  U )
92hhvs 22703 . . . . . 6  |-  -h  =  ( -v `  U )
104, 5, 6, 7, 8, 9ipval3 22236 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  ~H  /\  y  e. 
~H )  ->  (
x ( .i OLD `  U ) y )  =  ( ( ( ( ( normh `  (
x  +h  y ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  y
) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( normh `  ( x  +h  ( _i  .h  y
) ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( x  -h  ( _i  .h  y
) ) ) ^
2 ) ) ) )  /  4 ) )
113, 10mp3an1 1267 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x ( .i
OLD `  U )
y )  =  ( ( ( ( (
normh `  ( x  +h  y ) ) ^
2 )  -  (
( normh `  ( x  -h  y ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( normh `  (
x  +h  ( _i  .h  y ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( normh `  ( x  -h  (
_i  .h  y )
) ) ^ 2 ) ) ) )  /  4 ) )
121, 11eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  y
)  =  ( x ( .i OLD `  U
) y ) )
1312rgen2a 2778 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) y )
14 ax-hfi 22612 . . 3  |-  .ih  :
( ~H  X.  ~H )
--> CC
154, 8ipf 22243 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( .i OLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC )
163, 15ax-mp 5 . . 3  |-  ( .i
OLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC
17 ffn 5620 . . . 4  |-  (  .ih  : ( ~H  X.  ~H )
--> CC  ->  .ih  Fn  ( ~H  X.  ~H ) )
18 ffn 5620 . . . 4  |-  ( ( .i OLD `  U
) : ( ~H 
X.  ~H ) --> CC  ->  ( .i OLD `  U
)  Fn  ( ~H 
X.  ~H ) )
19 eqfnov2 6206 . . . 4  |-  ( ( 
.ih  Fn  ( ~H  X.  ~H )  /\  ( .i OLD `  U )  Fn  ( ~H  X.  ~H ) )  ->  (  .ih  =  ( .i OLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) y ) ) )
2017, 18, 19syl2an 465 . . 3  |-  ( ( 
.ih  : ( ~H  X.  ~H ) --> CC  /\  ( .i OLD `  U ) : ( ~H  X.  ~H ) --> CC )  -> 
(  .ih  =  ( .i OLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  y )  =  ( x ( .i OLD `  U
) y ) ) )
2114, 16, 20mp2an 655 . 2  |-  (  .ih  =  ( .i OLD `  U )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  y )  =  ( x ( .i OLD `  U ) y ) )
2213, 21mpbir 202 1  |-  .ih  =  ( .i OLD `  U
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   <.cop 3841    X. cxp 4905    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   _ici 9023    + caddc 9024    x. cmul 9026    - cmin 9322    / cdiv 9708   2c2 10080   4c4 10082   ^cexp 11413   NrmCVeccnv 22094   .i
OLDcdip 22227   ~Hchil 22453    +h cva 22454    .h csm 22455    .ih csp 22456   normhcno 22457    -h cmv 22459
This theorem is referenced by:  bcsiHIL  22713  occllem  22836  hmopbdoptHIL  23522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-hilex 22533  ax-hfvadd 22534  ax-hvcom 22535  ax-hvass 22536  ax-hv0cl 22537  ax-hvaddid 22538  ax-hfvmul 22539  ax-hvmulid 22540  ax-hvmulass 22541  ax-hvdistr1 22542  ax-hvdistr2 22543  ax-hvmul0 22544  ax-hfi 22612  ax-his1 22615  ax-his2 22616  ax-his3 22617  ax-his4 22618
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511  df-grpo 21810  df-gid 21811  df-ginv 21812  df-gdiv 21813  df-ablo 21901  df-vc 22056  df-nv 22102  df-va 22105  df-ba 22106  df-sm 22107  df-0v 22108  df-vs 22109  df-nmcv 22110  df-dip 22228  df-hnorm 22502  df-hvsub 22505
  Copyright terms: Public domain W3C validator