Theorem hhlno 9826

Description: The linear operators of Hilbert space.

Hypotheses

Ref	Expression
hhlno.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhlno.2	|- L = (U LnOp U)

Assertion

Ref	Expression
hhlno	|- LinOp = L

Proof of Theorem hhlno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvcom 8871	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x .h y) e. H~ /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) = (z +h (x .h y)))
2		hvmulclt 8883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
3	1, 2	sylan 448	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h y) +h z) = (z +h (x .h y)))
4	3	fveq2d 3728	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CC /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (t` ((x .h y) +h z)) = (t` (z +h (x .h y))))
5	4	adantlll 396	. . . . . . . . . 10 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (t` ((x .h y) +h z)) = (t` (z +h (x .h y))))
6		ax-hvcom 8871	. . . . . . . . . . 11 |- (((x .h (t` y)) e. H~ /\ (t` z) e. H~) -> ((x .h (t` y)) +h (t` z)) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
7		hvmulclt 8883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ (t` y) e. H~) -> (x .h (t` y)) e. H~)
8		simplr 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> x e. CC)
9		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((t:H~-->H~ /\ y e. H~) -> (t` y) e. H~)
10	9	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> (t` y) e. H~)
11	7, 8, 10	sylanc 471	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> (x .h (t` y)) e. H~)
12	11	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (x .h (t` y)) e. H~)
13		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((t:H~-->H~ /\ z e. H~) -> (t` z) e. H~)
14	13	adantlr 393	. . . . . . . . . . . 12 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ z e. H~) -> (t` z) e. H~)
15	14	adantlr 393	. . . . . . . . . . 11 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> (t` z) e. H~)
16	6, 12, 15	sylanc 471	. . . . . . . . . 10 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((x .h (t` y)) +h (t` z)) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
17	5, 16	eqeq12d 1489	. . . . . . . . 9 |- ((((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) /\ z e. H~) -> ((t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
18	17	ralbidva 1659	. . . . . . . 8 |- (((t:H~-->H~ /\ x e. CC) /\ y e. H~) -> (A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.z e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
19	18	ralbidva 1659	. . . . . . 7 |- ((t:H~-->H~ /\ x e. CC) -> (A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.y e. H~ A.z e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
20		ralcom 1774	. . . . . . 7 |- (A.y e. H~ A.z e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))) <-> A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
21	19, 20	syl6bb 536	. . . . . 6 |- ((t:H~-->H~ /\ x e. CC) -> (A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
22	21	ralbidva 1659	. . . . 5 |- (t:H~-->H~ -> (A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.x e. CC A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
23		ralcom 1774	. . . . 5 |- (A.x e. CC A.z e. H~ A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))) <-> A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))
24	22, 23	syl6bb 536	. . . 4 |- (t:H~-->H~ -> (A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)) <-> A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
25	24	pm5.32i 645	. . 3 |- ((t:H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z))) <-> (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y)))))
26	25	abbii 1575	. 2 |- {t | (t:H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)))} = {t | (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))}
27		df-lnop 9767	. 2 |- LinOp = {t | (t:H~-->H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ A.z e. H~ (t` ((x .h y) +h z)) = ((x .h (t` y)) +h (t` z)))}
28		eqid 1475	. . . 4 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
29	28	hhnv 9032	. . 3 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
30	28	hhba 9034	. . . 4 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
31	28	hhva 9033	. . . 4 |- +h = (+v` <.<. +h , .h >., normh>.)
32	28	hhsm 9036	. . . 4 |- .h = (.s` <.<. +h , .h >., normh>.)
33		hhlno.2	. . . . 5 |- L = (U LnOp U)
34		hhlno.1	. . . . . 6 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
35	34, 34	opreq12i 3973	. . . . 5 |- (U LnOp U) = (<.<. +h , .h >., normh>. LnOp <.<. +h , .h >., normh>.)
36	33, 35	eqtr 1495	. . . 4 |- L = (<.<. +h , .h >., normh>. LnOp <.<. +h , .h >., normh>.)
37	30, 30, 31, 31, 32, 32, 36	lnoval 8413	. . 3 |- ((<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec) -> L = {t | (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))})
38	29, 29, 37	mp2an 697	. 2 |- L = {t | (t:H~-->H~ /\ A.z e. H~ A.x e. CC A.y e. H~ (t` (z +h (x .h y))) = ((t` z) +h (x .h (t` y))))}
39	26, 27, 38	3eqtr4 1505	1 |- LinOp = L

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  A.wral 1645  <.cop 2411  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  NrmCVeccnv 8203   LnOp clno 8401  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  normhcno 8794  LinOpclo 8816

This theorem is referenced by:  hhblo 9828  hmopbdopHIL 9912  nmlnop0HIL 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667