HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnv Unicode version

Theorem hhnv 22517
Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhnv  |-  U  e.  NrmCVec

Proof of Theorem hhnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 22512 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
2 ablogrpo 21722 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  +h  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  +h  e.  GrpOp
4 ax-hfvadd 22353 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
54fdmi 5538 . . 3  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
63, 5grporn 21650 . 2  |-  ~H  =  ran  +h
7 hilid 22513 . . 3  |-  (GId `  +h  )  =  0h
87eqcomi 2393 . 2  |-  0h  =  (GId `  +h  )
9 hilvc 22514 . 2  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  CVec OLD
10 normf 22475 . 2  |-  normh : ~H --> RR
11 norm-i 22481 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
1211biimpa 471 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  =  0 )  ->  x  =  0h )
13 norm-iii 22492 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
14 norm-ii 22490 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
15 hhnv.1 . 2  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
166, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15isnvi 21942 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   <.cop 3762    X. cxp 4818   ` cfv 5396   0cc0 8925   GrpOpcgr 21624  GIdcgi 21625   AbelOpcablo 21719   NrmCVeccnv 21913   ~Hchil 22272    +h cva 22273    .h csm 22274   normhcno 22276   0hc0v 22277
This theorem is referenced by:  hhva  22518  hh0v  22520  hhsm  22521  hhvs  22522  hhnm  22523  hhims  22524  hhmet  22526  hhmetdval  22528  hhip  22529  hhph  22530  hlimadd  22545  hhcau  22550  hhlm  22551  hhhl  22556  hhssabloi  22612  hhsst  22616  hhshsslem1  22617  hhshsslem2  22618  hhsssh  22619  hhsssh2  22620  hhssvs  22622  occllem  22655  nmopsetretHIL  23217  hhlnoi  23253  hhnmoi  23254  hhbloi  23255  hh0oi  23256  nmopub2tHIL  23263  nmlnop0iHIL  23349  hmopidmchi  23504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-hilex 22352  ax-hfvadd 22353  ax-hvcom 22354  ax-hvass 22355  ax-hv0cl 22356  ax-hvaddid 22357  ax-hfvmul 22358  ax-hvmulid 22359  ax-hvmulass 22360  ax-hvdistr1 22361  ax-hvdistr2 22362  ax-hvmul0 22363  ax-hfi 22431  ax-his1 22434  ax-his2 22435  ax-his3 22436  ax-his4 22437
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ablo 21720  df-vc 21875  df-nv 21921  df-hnorm 22321  df-hvsub 22324
  Copyright terms: Public domain W3C validator