HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnv Structured version   Unicode version

Theorem hhnv 22659
Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhnv  |-  U  e.  NrmCVec

Proof of Theorem hhnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 22654 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
2 ablogrpo 21864 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  +h  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  +h  e.  GrpOp
4 ax-hfvadd 22495 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
54fdmi 5588 . . 3  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
63, 5grporn 21792 . 2  |-  ~H  =  ran  +h
7 hilid 22655 . . 3  |-  (GId `  +h  )  =  0h
87eqcomi 2439 . 2  |-  0h  =  (GId `  +h  )
9 hilvc 22656 . 2  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  CVec OLD
10 normf 22617 . 2  |-  normh : ~H --> RR
11 norm-i 22623 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
1211biimpa 471 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  =  0 )  ->  x  =  0h )
13 norm-iii 22634 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
14 norm-ii 22632 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
15 hhnv.1 . 2  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
166, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15isnvi 22084 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3809    X. cxp 4868   ` cfv 5446   0cc0 8982   GrpOpcgr 21766  GIdcgi 21767   AbelOpcablo 21861   NrmCVeccnv 22055   ~Hchil 22414    +h cva 22415    .h csm 22416   normhcno 22418   0hc0v 22419
This theorem is referenced by:  hhva  22660  hh0v  22662  hhsm  22663  hhvs  22664  hhnm  22665  hhims  22666  hhmet  22668  hhmetdval  22670  hhip  22671  hhph  22672  hlimadd  22687  hhcau  22692  hhlm  22693  hhhl  22698  hhssabloi  22754  hhsst  22758  hhshsslem1  22759  hhshsslem2  22760  hhsssh  22761  hhsssh2  22762  hhssvs  22764  occllem  22797  nmopsetretHIL  23359  hhlnoi  23395  hhnmoi  23396  hhbloi  23397  hh0oi  23398  nmopub2tHIL  23405  nmlnop0iHIL  23491  hmopidmchi  23646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-hnorm 22463  df-hvsub 22466
  Copyright terms: Public domain W3C validator