HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhnv Unicode version

Theorem hhnv 21760
Description: Hilbert space is a normed complex vector space. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
Assertion
Ref Expression
hhnv  |-  U  e.  NrmCVec

Proof of Theorem hhnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 21755 . . . 4  |-  +h  e.  AbelOp
2 ablogrpo 20967 . . . 4  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  +h  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  +h  e.  GrpOp
4 ax-hfvadd 21596 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
54fdmi 5410 . . 3  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
63, 5grporn 20895 . 2  |-  ~H  =  ran  +h
7 hilid 21756 . . 3  |-  (GId `  +h  )  =  0h
87eqcomi 2300 . 2  |-  0h  =  (GId `  +h  )
9 hilvc 21757 . 2  |-  <.  +h  ,  .h  >.  e.  CVec OLD
10 normf 21718 . 2  |-  normh : ~H --> RR
11 norm-i 21724 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
1211biimpa 470 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( normh `  x )  =  0 )  ->  x  =  0h )
13 norm-iii 21735 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
14 norm-ii 21733 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
15 hhnv.1 . 2  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
166, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15isnvi 21185 1  |-  U  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   <.cop 3656    X. cxp 4703   ` cfv 5271   0cc0 8753   GrpOpcgr 20869  GIdcgi 20870   AbelOpcablo 20964   NrmCVeccnv 21156   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517   normhcno 21519   0hc0v 21520
This theorem is referenced by:  hhva  21761  hh0v  21763  hhsm  21764  hhvs  21765  hhnm  21766  hhims  21767  hhmet  21769  hhmetdval  21771  hhip  21772  hhph  21773  hlimadd  21788  hhcau  21793  hhlm  21794  hhhl  21799  hhssabloi  21855  hhsst  21859  hhshsslem1  21860  hhshsslem2  21861  hhsssh  21862  hhsssh2  21863  hhssvs  21865  occllem  21898  nmopsetretHIL  22460  hhlnoi  22496  hhnmoi  22497  hhbloi  22498  hh0oi  22499  nmopub2tHIL  22506  nmlnop0iHIL  22592  hmopidmchi  22747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-hnorm 21564  df-hvsub 21567
  Copyright terms: Public domain W3C validator