Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhph Unicode version

Theorem hhph 22637
 Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhnv.1
Assertion
Ref Expression
hhph

Proof of Theorem hhph
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . 3
21hhnv 22624 . 2
3 normpar 22614 . . . 4
4 hvsubval 22476 . . . . . . . 8
54fveq2d 5695 . . . . . . 7
65oveq1d 6059 . . . . . 6
76oveq2d 6060 . . . . 5
8 hvaddcl 22472 . . . . . . . . 9
9 normcl 22584 . . . . . . . . 9
108, 9syl 16 . . . . . . . 8
1110recnd 9074 . . . . . . 7
1211sqcld 11480 . . . . . 6
13 hvsubcl 22477 . . . . . . . 8
14 normcl 22584 . . . . . . . . 9
1514recnd 9074 . . . . . . . 8
1613, 15syl 16 . . . . . . 7
1716sqcld 11480 . . . . . 6
1812, 17addcomd 9228 . . . . 5
197, 18eqtr3d 2442 . . . 4
20 normcl 22584 . . . . . . 7
2120recnd 9074 . . . . . 6
2221sqcld 11480 . . . . 5
23 normcl 22584 . . . . . . 7
2423recnd 9074 . . . . . 6
2524sqcld 11480 . . . . 5
26 2cn 10030 . . . . . 6
27 adddi 9039 . . . . . 6
2826, 27mp3an1 1266 . . . . 5
2922, 25, 28syl2an 464 . . . 4
303, 19, 293eqtr4d 2450 . . 3
3130rgen2a 2736 . 2
32 hilablo 22619 . . . 4
3332elexi 2929 . . 3
34 hvmulex 22471 . . 3
35 normf 22582 . . . 4
36 ax-hilex 22459 . . . 4
37 fex 5932 . . . 4
3835, 36, 37mp2an 654 . . 3
39 hhnv.1 . . . . 5
4039eleq1i 2471 . . . 4
41 ablogrpo 21829 . . . . . . 7
4232, 41ax-mp 8 . . . . . 6
43 ax-hfvadd 22460 . . . . . . 7
4443fdmi 5559 . . . . . 6
4542, 44grporn 21757 . . . . 5
4645isphg 22275 . . . 4
4740, 46syl5bb 249 . . 3
4833, 34, 38, 47mp3an 1279 . 2
492, 31, 48mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2670  cvv 2920  cop 3781   cxp 4839  wf 5413  cfv 5417  (class class class)co 6044  cc 8948  cr 8949  c1 8951   caddc 8953   cmul 8955  cneg 9252  c2 10009  cexp 11341  cgr 21731  cablo 21826  cnv 22020  ccphlo 22270  chil 22379   cva 22380   csm 22381  cno 22383   cmv 22385 This theorem is referenced by:  bcsiHIL  22639  hhhl  22663  hhssph  22731  pjhthlem2  22851 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvmulass 22467  ax-hvdistr1 22468  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ablo 21827  df-vc 21982  df-nv 22028  df-ph 22271  df-hnorm 22428  df-hvsub 22431
 Copyright terms: Public domain W3C validator