Theorem hhph 9040

Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space.

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.

Assertion

Ref	Expression
hhph	|- U e. CPreHil

Proof of Theorem hhph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilabl 9022	. . . 4 |- +h e. Abel
2	1	elisseti 1821	. . 3 |- +h e. V
3		hvmulex 8876	. . 3 |- .h e. V
4		normf 8984	. . . 4 |- normh:H~-->RR
5		ax-hilex 8864	. . . 4 |- H~ e. V
6		fex 3658	. . . 4 |- ((normh:H~-->RR /\ H~ e. V) -> normh e. V)
7	4, 5, 6	mp2an 699	. . 3 |- normh e. V
8		ablgrp 8098	. . . . . . 7 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . . . 6 |- +h e. Grp
10		ax-hfvadd 8865	. . . . . . 7 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
11	10	fdmi 3638	. . . . . 6 |- dom +h = (H~ X. H~)
12	9, 11	grprn 8053	. . . . 5 |- H~ = ran +h
13	12	isphg 8472	. . . 4 |- (( +h e. V /\ .h e. V /\ normh e. V) -> (<.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
14		hhnv.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
15	14	eleq1i 1540	. . . 4 |- (U e. CPreHil <-> <.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil)
16	13, 15	syl5bb 534	. . 3 |- (( +h e. V /\ .h e. V /\ normh e. V) -> (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
17	2, 3, 7, 16	mp3an 918	. 2 |- (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))))
18		eqid 1478	. . 3 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
19	18	hhnv 9027	. 2 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
20		normpart 9017	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
21		hvsubvalt 8881	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
22	21	fveq2d 3734	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x -h y)) = (normh` (x +h (-u1 .h y))))
23	22	opreq1d 3981	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x -h y))^2) = ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2))
24	23	opreq2d 3982	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)))
25		axaddcom 5287	. . . . . 6 |- ((((normh` (x +h y))^2) e. CC /\ ((normh` (x -h y))^2) e. CC) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
26		hvaddclt 8877	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
27		normclt 8986	. . . . . . . . 9 |- ((x +h y) e. H~ -> (normh` (x +h y)) e. RR)
28	26, 27	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x +h y)) e. RR)
29	28	recnd 5327	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x +h y)) e. CC)
30		sqclt 6612	. . . . . . 7 |- ((normh` (x +h y)) e. CC -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
31	29, 30	syl 10	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
32		hvsubclt 8882	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) e. H~)
33		normclt 8986	. . . . . . . 8 |- ((x -h y) e. H~ -> (normh` (x -h y)) e. RR)
34	33	recnd 5327	. . . . . . 7 |- ((x -h y) e. H~ -> (normh` (x -h y)) e. CC)
35		sqclt 6612	. . . . . . 7 |- ((normh` (x -h y)) e. CC -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
36	32, 34, 35	3syl 20	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
37	25, 31, 36	sylanc 473	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
38	24, 37	eqtr3d 1512	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
39		2cn 5982	. . . . . 6 |- 2 e. CC
40		axdistr 5291	. . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ ((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
41	39, 40	mp3an1 905	. . . . 5 |- ((((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
42		normclt 8986	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. RR)
43	42	recnd 5327	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. CC)
44		sqclt 6612	. . . . . 6 |- ((normh` x) e. CC -> ((normh` x)^2) e. CC)
45	43, 44	syl 10	. . . . 5 |- (x e. H~ -> ((normh` x)^2) e. CC)
46		normclt 8986	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (normh` y) e. RR)
47	46	recnd 5327	. . . . . 6 |- (y e. H~ -> (normh` y) e. CC)
48		sqclt 6612	. . . . . 6 |- ((normh` y) e. CC -> ((normh` y)^2) e. CC)
49	47, 48	syl 10	. . . . 5 |- (y e. H~ -> ((normh` y)^2) e. CC)
50	41, 45, 49	syl2an 456	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
51	20, 38, 50	3eqtr4d 1520	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))
52	51	rgen2a 1702	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))
53	17, 19, 52	mpbir2an 732	1 |- U e. CPreHil

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814  <.cop 2415   X. cxp 3174  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251  -ucneg 5305  2c2 5963  ^cexp 6569  Grpcgr 8030  Abelcabl 8095  NrmCVeccnv 8199  CPreHilcphl 8467  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785   -h cmv 8787  normhcno 8789

This theorem is referenced by:  bcsHIL 9042  hhhl 9068  hhssph 9139  projlemHIL 9213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374