HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem1 Unicode version

Theorem hhshsslem1 21860
Description: Lemma for hhsssh 21862. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhsst.2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssp3.3  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
hhssp3.4  |-  H  C_  ~H
Assertion
Ref Expression
hhshsslem1  |-  H  =  ( BaseSet `  W )

Proof of Theorem hhshsslem1
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
31, 2bafval 21176 . . 3  |-  ( BaseSet `  W )  =  ran  ( +v `  W )
4 hhsst.1 . . . . . . 7  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
54hhnv 21760 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
6 hhssp3.3 . . . . . 6  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
7 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
87sspnv 21318 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  W  e.  NrmCVec )
95, 6, 8mp2an 653 . . . . 5  |-  W  e.  NrmCVec
102nvgrp 21189 . . . . 5  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( +v `  W )  e.  GrpOp )
11 grporndm 20893 . . . . 5  |-  ( ( +v `  W )  e.  GrpOp  ->  ran  ( +v
`  W )  =  dom  dom  ( +v `  W ) )
129, 10, 11mp2b 9 . . . 4  |-  ran  ( +v `  W )  =  dom  dom  ( +v `  W )
13 hhsst.2 . . . . . . . . . 10  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
1413fveq2i 5544 . . . . . . . . 9  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
15 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +v
`  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  ( +v `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
1615vafval 21175 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  ( 1st `  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
)
17 opex 4253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  _V
18 normf 21718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  normh : ~H --> RR
19 ax-hilex 21595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~H  e.  _V
20 fex 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  ~H  e.  _V )  ->  normh  e.  _V )
2118, 19, 20mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  normh  e.  _V
2221resex 5011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normh  |`  H )  e.  _V
2317, 22op1st 6144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.
2423fveq2i 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  ( 1st `  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
)  =  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )
25 hilablo 21755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +h  e.  AbelOp
26 resexg 5010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  _V )
2725, 26ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  _V
28 hvmulex 21607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .h  e.  _V
2928resex 5011 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  e.  _V
3027, 29op1st 6144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1st `  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
3124, 30eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  ( 1st `  <. <.
(  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )
)  =  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )
3216, 31eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( +v
`  <. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >. )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
3314, 32eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  ( +v
`  W )  =  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
3433dmeqi 4896 . . . . . . 7  |-  dom  ( +v `  W )  =  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
35 hhssp3.4 . . . . . . . . . 10  |-  H  C_  ~H
36 xpss12 4808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  C_  ~H  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
3735, 35, 36mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
38 ax-hfvadd 21596 . . . . . . . . . 10  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
3938fdmi 5410 . . . . . . . . 9  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
4037, 39sseqtr4i 3224 . . . . . . . 8  |-  ( H  X.  H )  C_  dom  +h
41 ssdmres 4993 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  X.  H ) 
C_  dom  +h  <->  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( H  X.  H ) )
4240, 41mpbi 199 . . . . . . 7  |-  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  ( H  X.  H
)
4334, 42eqtri 2316 . . . . . 6  |-  dom  ( +v `  W )  =  ( H  X.  H
)
4443dmeqi 4896 . . . . 5  |-  dom  dom  ( +v `  W )  =  dom  ( H  X.  H )
45 dmxpid 4914 . . . . 5  |-  dom  ( H  X.  H )  =  H
4644, 45eqtri 2316 . . . 4  |-  dom  dom  ( +v `  W )  =  H
4712, 46eqtri 2316 . . 3  |-  ran  ( +v `  W )  =  H
483, 47eqtri 2316 . 2  |-  ( BaseSet `  W )  =  H
4948eqcomi 2300 1  |-  H  =  ( BaseSet `  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   <.cop 3656    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271   1stc1st 6136   CCcc 8751   RRcr 8752   GrpOpcgr 20869   AbelOpcablo 20964   NrmCVeccnv 21156   +vcpv 21157   BaseSetcba 21158   SubSpcss 21313   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517   normhcno 21519
This theorem is referenced by:  hhshsslem2  21861  hhssba  21864
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-nmcv 21172  df-ssp 21314  df-hnorm 21564  df-hvsub 21567
  Copyright terms: Public domain W3C validator