Theorem hhshsslem1 9137

Description: Lemma for hhsssh 9139.

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhsst.2	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
hhssp3.3	|- W e. (SubSp` U)
hhssp3.4	|- H (_ H~

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	|- H = (Base` W)

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . 4 |- (Base` W) = (Base` W)
2		eqid 1475	. . . 4 |- (+v` W) = (+v` W)
3	1, 2	bafval 8223	. . 3 |- (Base` W) = ran (+v` W)
4		hhsst.1	. . . . . . . 8 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
5	4	hhnv 9032	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . . 7 |- W e. (SubSp` U)
7		eqid 1475	. . . . . . . 8 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
8	7	sspnv 8385	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) -> W e. NrmCVec)
9	5, 6, 8	mp2an 697	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
10	2	nvgrp 8236	. . . . . 6 |- (W e. NrmCVec -> (+v` W) e. Grp)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (+v` W) e. Grp
12		grprndm 8054	. . . . 5 |- ((+v` W) e. Grp -> ran (+v` W) = dom dom (+v` W))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- ran (+v` W) = dom dom (+v` W)
14		hhsst.2	. . . . . . . . 9 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
15	14	fveq2i 3727	. . . . . . . 8 |- (+v` W) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
16		eqid 1475	. . . . . . . . . 10 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
17	16	vafval 8222	. . . . . . . . 9 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.))
18		opex 2782	. . . . . . . . . . . 12 |- <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>. e. V
19	18	op1st 4085	. . . . . . . . . . 11 |- (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.
20	19	fveq2i 3727	. . . . . . . . . 10 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.)
21		hilabl 9027	. . . . . . . . . . . 12 |- +h e. Abel
22		resexg 3394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +h e. Abel -> ( +h |` (H X. H)) e. V)
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ( +h |` (H X. H)) e. V
24	23	op1st 4085	. . . . . . . . . 10 |- (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.) = ( +h |` (H X. H))
25	20, 24	eqtr 1495	. . . . . . . . 9 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = ( +h |` (H X. H))
26	17, 25	eqtr 1495	. . . . . . . 8 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = ( +h |` (H X. H))
27	15, 26	eqtr 1495	. . . . . . 7 |- (+v` W) = ( +h |` (H X. H))
28	27	dmeqi 3312	. . . . . 6 |- dom (+v` W) = dom ( +h |` (H X. H))
29		hhssp3.4	. . . . . . . . 9 |- H (_ H~
30		ssxp 3256	. . . . . . . . 9 |- ((H (_ H~ /\ H (_ H~) -> (H X. H) (_ (H~ X. H~))
31	29, 29, 30	mp2an 697	. . . . . . . 8 |- (H X. H) (_ (H~ X. H~)
32		ax-hfvadd 8870	. . . . . . . . 9 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
33	32	fdmi 3632	. . . . . . . 8 |- dom +h = (H~ X. H~)
34	31, 33	sseqtr4 2094	. . . . . . 7 |- (H X. H) (_ dom +h
35		ssdmres 3381	. . . . . . 7 |- ((H X. H) (_ dom +h <-> dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H))
36	34, 35	mpbi 189	. . . . . 6 |- dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H)
37	28, 36	eqtr 1495	. . . . 5 |- dom (+v` W) = (H X. H)
38	37	dmeqi 3312	. . . 4 |- dom dom (+v` W) = dom ( H X. H)
39		dmxpid 3333	. . . 4 |- dom ( H X. H) = H
40	13, 38, 39	3eqtr 1499	. . 3 |- ran (+v` W) = H
41	3, 40	eqtr 1495	. 2 |- (Base` W) = H
42	41	eqcomi 1479	1 |- H = (Base` W)

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   (_ wss 2047  <.cop 2411   X. cxp 3168  dom cdm 3170  ran crn 3171   |` cres 3172  ` cfv 3182  1stc1st 4077  CCcc 5232  Grpcgr 8033  Abelcabl 8099  NrmCVeccnv 8203  +vcpv 8204  Basecba 8205  SubSpcss 8380  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  normhcno 8794

This theorem is referenced by:  hhshsslem2 9138  hhssba 9141

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-ssp 8381  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840

Copyright terms: Public domain