HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhshsslem2 Unicode version

Theorem hhshsslem2 21861
Description: Lemma for hhsssh 21862. (Contributed by NM, 6-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsst.1  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
hhsst.2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssp3.3  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
hhssp3.4  |-  H  C_  ~H
Assertion
Ref Expression
hhshsslem2  |-  H  e.  SH

Proof of Theorem hhshsslem2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssp3.4 . . 3  |-  H  C_  ~H
2 hhsst.1 . . . . . 6  |-  U  = 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
32hhnv 21760 . . . . 5  |-  U  e.  NrmCVec
4 hhssp3.3 . . . . 5  |-  W  e.  ( SubSp `  U )
52hh0v 21763 . . . . . 6  |-  0h  =  ( 0vec `  U )
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
85, 6, 7sspz 21327 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  ( 0vec `  W )  =  0h )
93, 4, 8mp2an 653 . . . 4  |-  ( 0vec `  W )  =  0h
107sspnv 21318 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  W  e.  NrmCVec )
113, 4, 10mp2an 653 . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
1312, 6nvzcl 21208 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
1411, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
15 hhsst.2 . . . . . 6  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
162, 15, 4, 1hhshsslem1 21860 . . . . 5  |-  H  =  ( BaseSet `  W )
1714, 16eleqtrri 2369 . . . 4  |-  ( 0vec `  W )  e.  H
189, 17eqeltrri 2367 . . 3  |-  0h  e.  H
191, 18pm3.2i 441 . 2  |-  ( H 
C_  ~H  /\  0h  e.  H )
202hhva 21761 . . . . . . 7  |-  +h  =  ( +v `  U )
21 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +v
`  W )  =  ( +v `  W
)
2216, 20, 21, 7sspgval 21321 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U ) )  /\  ( x  e.  H  /\  y  e.  H
) )  ->  (
x ( +v `  W ) y )  =  ( x  +h  y ) )
233, 4, 22mpanl12 663 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x ( +v
`  W ) y )  =  ( x  +h  y ) )
2416, 21nvgcl 21192 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  (
x ( +v `  W ) y )  e.  H )
2511, 24mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x ( +v
`  W ) y )  e.  H )
2623, 25eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
2726rgen2a 2622 . . 3  |-  A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y )  e.  H
282hhsm 21764 . . . . . . 7  |-  .h  =  ( .s OLD `  U
)
29 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
3016, 28, 29, 7sspsval 21323 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  H ) )  ->  ( x
( .s OLD `  W
) y )  =  ( x  .h  y
) )
313, 4, 30mpanl12 663 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x ( .s
OLD `  W )
y )  =  ( x  .h  y ) )
3216, 29nvscl 21200 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  (
x ( .s OLD `  W ) y )  e.  H )
3311, 32mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x ( .s
OLD `  W )
y )  e.  H
)
3431, 33eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  H )
3534rgen2 2652 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  ( x  .h  y )  e.  H
3627, 35pm3.2i 441 . 2  |-  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  (
x  +h  y )  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  ( x  .h  y )  e.  H
)
37 issh2 21804 . 2  |-  ( H  e.  SH  <->  ( ( H  C_  ~H  /\  0h  e.  H )  /\  ( A. x  e.  H  A. y  e.  H  ( x  +h  y
)  e.  H  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  H  (
x  .h  y )  e.  H ) ) )
3819, 36, 37mpbir2an 886 1  |-  H  e.  SH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   <.cop 3656    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   NrmCVeccnv 21156   +vcpv 21157   BaseSetcba 21158   .s
OLDcns 21159   0veccn0v 21160   SubSpcss 21313   ~Hchil 21515    +h cva 21516    .h csm 21517   normhcno 21519   0hc0v 21520   SHcsh 21524
This theorem is referenced by:  hhsssh  21862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ssp 21314  df-hnorm 21564  df-hvsub 21567  df-sh 21802
  Copyright terms: Public domain W3C validator