Theorem hhssabl 9132

Description: Abelian group property of subspace addition.

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
hhssabl	|- ( +h |` (H X. H)) e. Abel

Proof of Theorem hhssabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilabl 9027	. . . . . 6 |- +h e. Abel
2		ablgrp 8102	. . . . . 6 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- +h e. Grp
4		eqid 1475	. . . . . . 7 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
5	4	hhba 9034	. . . . . 6 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
6	4	hhva 9033	. . . . . 6 |- +h = (+v` <.<. +h , .h >., normh>.)
7	5, 6	bafval 8223	. . . . 5 |- H~ = ran +h
8	4	hh0v 9035	. . . . . 6 |- 0h = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
9	6, 8	0vfval 8225	. . . . 5 |- 0h = (Id` +h )
10	4	hhnv 9032	. . . . . 6 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
11	4	hhsm 9036	. . . . . . 7 |- .h = (.s` <.<. +h , .h >., normh>.)
12		eqid 1475	. . . . . . 7 |- ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V))) = ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))
13	6, 11, 12	invfval 8261	. . . . . 6 |- (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec -> ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V))) = (inv` +h ))
14	10, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V))) = (inv` +h )
15		hhssabl.1	. . . . . 6 |- H e. SH
16	15	shssi 9081	. . . . 5 |- H (_ H~
17		eqid 1475	. . . . 5 |- ( +h |` (H X. H)) = ( +h |` (H X. H))
18		shaddclt 9085	. . . . . 6 |- ((H e. SH /\ x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
19	15, 18	mp3an1 903	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
20		sh0 9084	. . . . . 6 |- (H e. SH -> 0h e. H)
21	15, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0h e. H
22		ax-hfvmul 8875	. . . . . . . 8 |- .h :(CC X. H~)-->H~
23		ffn 3627	. . . . . . . 8 |- ( .h :(CC X. H~)-->H~ -> .h Fn (CC X. H~))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- .h Fn (CC X. H~)
25		ax1cn 5269	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
26	25	negcl 5369	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
27	12	curry1val 4100	. . . . . . 7 |- (( .h Fn (CC X. H~) /\ -u1 e. CC /\ x e. H) -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))` x) = (-u1 .h x))
28	24, 26, 27	mp3an12 906	. . . . . 6 |- (x e. H -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))` x) = (-u1 .h x))
29		shmulclt 9087	. . . . . . 7 |- ((H e. SH /\ -u1 e. CC /\ x e. H) -> (-u1 .h x) e. H)
30	15, 26, 29	mp3an12 906	. . . . . 6 |- (x e. H -> (-u1 .h x) e. H)
31	28, 30	eqeltrd 1548	. . . . 5 |- (x e. H -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))` x) e. H)
32	3, 7, 9, 14, 16, 17, 19, 21, 31	issubgi 8122	. . . 4 |- ( +h |` (H X. H)) e. (SubGrp` +h )
33		issubg 8116	. . . 4 |- (( +h |` (H X. H)) e. (SubGrp` +h ) <-> ( +h e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) (_ +h ))
34	32, 33	mpbi 189	. . 3 |- ( +h e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) (_ +h )
35	34	3simp2i 792	. 2 |- ( +h |` (H X. H)) e. Grp
36		ssxp 3256	. . . . 5 |- ((H (_ H~ /\ H (_ H~) -> (H X. H) (_ (H~ X. H~))
37	16, 16, 36	mp2an 697	. . . 4 |- (H X. H) (_ (H~ X. H~)
38		ax-hfvadd 8870	. . . . 5 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
39	38	fdmi 3632	. . . 4 |- dom +h = (H~ X. H~)
40	37, 39	sseqtr4 2094	. . 3 |- (H X. H) (_ dom +h
41		ssdmres 3381	. . 3 |- ((H X. H) (_ dom +h <-> dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H))
42	40, 41	mpbi 189	. 2 |- dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H)
43		ax-hvcom 8871	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) = (y +h x))
44	15	shel 9082	. . . 4 |- (x e. H -> x e. H~)
45	15	shel 9082	. . . 4 |- (y e. H -> y e. H~)
46	43, 44, 45	syl2an 454	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) = (y +h x))
47		oprvalres 4033	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x( +h |` (H X. H))y) = (x +h y))
48		oprvalres 4033	. . . 4 |- ((y e. H /\ x e. H) -> (y( +h |` (H X. H))x) = (y +h x))
49	48	ancoms 436	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (y( +h |` (H X. H))x) = (y +h x))
50	46, 47, 49	3eqtr4d 1517	. 2 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x( +h |` (H X. H))y) = (y( +h |` (H X. H))x))
51	35, 42, 50	isabli 8106	1 |- ( +h |` (H X. H)) e. Abel

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811   (_ wss 2047  {csn 2409  <.cop 2411   X. cxp 3168  `'ccnv 3169  dom cdm 3170   |` cres 3172   o. ccom 3174   Fn wfn 3177  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  2ndc2nd 4078  CCcc 5232  1c1 5235  -ucneg 5293  Grpcgr 8033  invcgn 8035  Abelcabl 8099  SubGrpcsubg 8114  NrmCVeccnv 8203  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  0hc0v 8791  normhcno 8794  SHcsh 8797

This theorem is referenced by:  hhssablt 9133  hhssnv 9134

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-abl 8100  df-subg 8115  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-nm 8219  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-sh 9076

Copyright terms: Public domain