Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssabloi Structured version   Unicode version

Theorem hhssabloi 22764
 Description: Abelian group property of subspace addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhssabl.1
Assertion
Ref Expression
hhssabloi

Proof of Theorem hhssabloi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hilablo 22664 . . . . . 6
2 ablogrpo 21874 . . . . . 6
31, 2ax-mp 8 . . . . 5
4 df-hba 22474 . . . . . 6
5 eqid 2438 . . . . . . 7
65hhva 22670 . . . . . 6
74, 6bafval 22085 . . . . 5
8 hilid 22665 . . . . . 6 GId
98eqcomi 2442 . . . . 5 GId
105hhnv 22669 . . . . . 6
115hhsm 22673 . . . . . . 7
12 eqid 2438 . . . . . . 7
136, 11, 12nvinvfval 22123 . . . . . 6
1410, 13ax-mp 8 . . . . 5
15 hhssabl.1 . . . . . 6
1615shssii 22717 . . . . 5
17 eqid 2438 . . . . 5
18 shaddcl 22721 . . . . . 6
1915, 18mp3an1 1267 . . . . 5
20 sh0 22720 . . . . . 6
2115, 20ax-mp 8 . . . . 5
22 ax-hfvmul 22510 . . . . . . . 8
23 ffn 5593 . . . . . . . 8
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . 7
25 neg1cn 10069 . . . . . . 7
2612curry1val 6441 . . . . . . 7
2724, 25, 26mp2an 655 . . . . . 6
28 shmulcl 22722 . . . . . . 7
2915, 25, 28mp3an12 1270 . . . . . 6
3027, 29syl5eqel 2522 . . . . 5
313, 7, 9, 14, 16, 17, 19, 21, 30issubgoi 21900 . . . 4
32 issubgo 21893 . . . 4
3331, 32mpbi 201 . . 3
3433simp2i 968 . 2
35 xpss12 4983 . . . . 5
3616, 16, 35mp2an 655 . . . 4
37 ax-hfvadd 22505 . . . . 5
3837fdmi 5598 . . . 4
3936, 38sseqtr4i 3383 . . 3
40 ssdmres 5170 . . 3
4139, 40mpbi 201 . 2
4215sheli 22718 . . . 4
4315sheli 22718 . . . 4
44 ax-hvcom 22506 . . . 4
4542, 43, 44syl2an 465 . . 3
46 ovres 6215 . . 3
47 ovres 6215 . . . 4
4847ancoms 441 . . 3
4945, 46, 483eqtr4d 2480 . 2
5034, 41, 49isabloi 21878 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   wss 3322  csn 3816  cop 3819   cxp 4878  ccnv 4879   cdm 4880   cres 4882   ccom 4884   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  c2nd 6350  cc 8990  c1 8993  cneg 9294  cgr 21776  GIdcgi 21777  cgn 21778  cablo 21871  csubgo 21891  cnv 22065  chil 22424   cva 22425   csm 22426  cno 22428  c0v 22429  csh 22433 This theorem is referenced by:  hhssablo  22765  hhssnv  22766 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-hilex 22504  ax-hfvadd 22505  ax-hvcom 22506  ax-hvass 22507  ax-hv0cl 22508  ax-hvaddid 22509  ax-hfvmul 22510  ax-hvmulid 22511  ax-hvmulass 22512  ax-hvdistr1 22513  ax-hvdistr2 22514  ax-hvmul0 22515  ax-hfi 22583  ax-his1 22586  ax-his2 22587  ax-his3 22588  ax-his4 22589 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-ablo 21872  df-subgo 21892  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-nmcv 22081  df-hnorm 22473  df-hba 22474  df-hvsub 22476  df-sh 22711
 Copyright terms: Public domain W3C validator