Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsscms Structured version   Unicode version

Theorem hhsscms 22780
 Description: The induced metric of a closed subspace is complete. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssims2.1
hhssims2.3
hhsscms.3
Assertion
Ref Expression
hhsscms

Proof of Theorem hhsscms
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . 2
2 hhssims2.1 . . 3
3 hhssims2.3 . . 3
4 hhsscms.3 . . . 4
54chshii 22731 . . 3
62, 3, 5hhssmet 22778 . 2
7 simpl 445 . . . . . . . . . 10
82, 3, 5hhssims2 22777 . . . . . . . . . . 11
98fveq2i 5732 . . . . . . . . . 10
107, 9syl6eleq 2527 . . . . . . . . 9
11 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11
1211hilxmet 22698 . . . . . . . . . 10
13 simpr 449 . . . . . . . . . 10
14 causs 19252 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14sylancr 646 . . . . . . . . 9
1610, 15mpbird 225 . . . . . . . 8
174chssii 22735 . . . . . . . . . 10
18 fss 5600 . . . . . . . . . 10
1913, 17, 18sylancl 645 . . . . . . . . 9
20 ax-hilex 22503 . . . . . . . . . 10
21 nnex 10007 . . . . . . . . . 10
2220, 21elmap 7043 . . . . . . . . 9
2319, 22sylibr 205 . . . . . . . 8
24 eqid 2437 . . . . . . . . . 10
2524, 11hhims 22675 . . . . . . . . . 10
2624, 25hhcau 22701 . . . . . . . . 9
2726elin2 3532 . . . . . . . 8
2816, 23, 27sylanbrc 647 . . . . . . 7
29 ax-hcompl 22705 . . . . . . 7
30 vex 2960 . . . . . . . . 9
31 vex 2960 . . . . . . . . 9
3230, 31breldm 5075 . . . . . . . 8
3332rexlimivw 2827 . . . . . . 7
3428, 29, 333syl 19 . . . . . 6
35 hlimf 22741 . . . . . . 7
36 ffun 5594 . . . . . . 7
37 funfvbrb 5844 . . . . . . 7
3835, 36, 37mp2b 10 . . . . . 6
3934, 38sylib 190 . . . . 5
40 eqid 2437 . . . . . . . 8
4124, 25, 40hhlm 22702 . . . . . . 7
42 resss 5171 . . . . . . 7
4341, 42eqsstri 3379 . . . . . 6
4443ssbri 4255 . . . . 5
4539, 44syl 16 . . . 4
468, 40, 1metrest 18555 . . . . . . 7 t
4712, 17, 46mp2an 655 . . . . . 6 t
4847eqcomi 2441 . . . . 5 t
49 nnuz 10522 . . . . 5
504a1i 11 . . . . 5
5140mopntop 18471 . . . . . 6
5212, 51mp1i 12 . . . . 5
53 fvex 5743 . . . . . . 7
5453chlimi 22738 . . . . . 6
5550, 13, 39, 54syl3anc 1185 . . . . 5
56 1z 10312 . . . . . 6
5756a1i 11 . . . . 5
5848, 49, 50, 52, 55, 57, 13lmss 17363 . . . 4
5945, 58mpbid 203 . . 3
6030, 53breldm 5075 . . 3
6159, 60syl 16 . 2
621, 6, 61iscmet3i 19265 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2707   wss 3321  cop 3818   class class class wbr 4213   cxp 4877   cdm 4879   cres 4881   ccom 4883   wfun 5449  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082   cmap 7019  cc 8989  c1 8992  cn 10001  cz 10283   ↾t crest 13649  cxmt 16687  cmopn 16692  ctop 16959  clm 17291  cca 19207  cms 19208  cims 22071  chil 22423   cva 22424   csm 22425  cno 22427   cmv 22429  ccau 22430   chli 22431  cch 22433 This theorem is referenced by:  hhssbn  22781 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cc 8316  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071  ax-hilex 22503  ax-hfvadd 22504  ax-hvcom 22505  ax-hvass 22506  ax-hv0cl 22507  ax-hvaddid 22508  ax-hfvmul 22509  ax-hvmulid 22510  ax-hvmulass 22511  ax-hvdistr1 22512  ax-hvdistr2 22513  ax-hvmul0 22514  ax-hfi 22582  ax-his1 22585  ax-his2 22586  ax-his3 22587  ax-his4 22588  ax-hcompl 22705 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-acn 7830  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-ntr 17085  df-nei 17163  df-lm 17294  df-haus 17380  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-cfil 19209  df-cau 19210  df-cmet 19211  df-grpo 21780  df-gid 21781  df-ginv 21782  df-gdiv 21783  df-ablo 21871  df-subgo 21891  df-vc 22026  df-nv 22072  df-va 22075  df-ba 22076  df-sm 22077  df-0v 22078  df-vs 22079  df-nmcv 22080  df-ims 22081  df-ssp 22222  df-hnorm 22472  df-hba 22473  df-hvsub 22475  df-hlim 22476  df-hcau 22477  df-sh 22710  df-ch 22725  df-ch0 22756
 Copyright terms: Public domain W3C validator