Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssnv Structured version   Unicode version

Theorem hhssnv 22764
 Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1
hhssnv.2
Assertion
Ref Expression
hhssnv

Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5
21hhssabloi 22762 . . . 4
3 ablogrpo 21872 . . . 4
42, 3ax-mp 8 . . 3
51shssii 22715 . . . . . 6
6 xpss12 4981 . . . . . 6
75, 5, 6mp2an 654 . . . . 5
8 ax-hfvadd 22503 . . . . . 6
98fdmi 5596 . . . . 5
107, 9sseqtr4i 3381 . . . 4
11 ssdmres 5168 . . . 4
1210, 11mpbi 200 . . 3
134, 12grporn 21800 . 2
14 sh0 22718 . . . . . 6
151, 14ax-mp 8 . . . . 5
16 ovres 6213 . . . . 5
1715, 15, 16mp2an 654 . . . 4
18 ax-hv0cl 22506 . . . . 5
1918hvaddid2i 22531 . . . 4
2017, 19eqtri 2456 . . 3
21 eqid 2436 . . . . 5 GId GId
2213, 21grpoid 21811 . . . 4 GId
234, 15, 22mp2an 654 . . 3 GId
2420, 23mpbir 201 . 2 GId
25 ax-hfvmul 22508 . . . . . 6
26 ffn 5591 . . . . . 6
2725, 26ax-mp 8 . . . . 5
28 ssid 3367 . . . . . 6
29 xpss12 4981 . . . . . 6
3028, 5, 29mp2an 654 . . . . 5
31 fnssres 5558 . . . . 5
3227, 30, 31mp2an 654 . . . 4
33 ovelrn 6222 . . . . . . 7
3432, 33ax-mp 8 . . . . . 6
35 ovres 6213 . . . . . . . . 9
36 shmulcl 22720 . . . . . . . . . 10
371, 36mp3an1 1266 . . . . . . . . 9
3835, 37eqeltrd 2510 . . . . . . . 8
39 eleq1 2496 . . . . . . . 8
4038, 39syl5ibrcom 214 . . . . . . 7
4140rexlimivv 2835 . . . . . 6
4234, 41sylbi 188 . . . . 5
4342ssriv 3352 . . . 4
44 df-f 5458 . . . 4
4532, 43, 44mpbir2an 887 . . 3
46 ax-1cn 9048 . . . . 5
47 ovres 6213 . . . . 5
4846, 47mpan 652 . . . 4
491sheli 22716 . . . . 5
50 ax-hvmulid 22509 . . . . 5
5149, 50syl 16 . . . 4
5248, 51eqtrd 2468 . . 3
53 id 20 . . . . 5
541sheli 22716 . . . . 5
55 ax-hvdistr1 22511 . . . . 5
5653, 49, 54, 55syl3an 1226 . . . 4
57 ovres 6213 . . . . . . 7
58573adant1 975 . . . . . 6
5958oveq2d 6097 . . . . 5
60 shaddcl 22719 . . . . . . . 8
611, 60mp3an1 1266 . . . . . . 7
62 ovres 6213 . . . . . . 7
6361, 62sylan2 461 . . . . . 6
64633impb 1149 . . . . 5
6559, 64eqtrd 2468 . . . 4
66 ovres 6213 . . . . . . 7
67663adant3 977 . . . . . 6
68 ovres 6213 . . . . . . 7
69683adant2 976 . . . . . 6
7067, 69oveq12d 6099 . . . . 5
71 shmulcl 22720 . . . . . . . 8
721, 71mp3an1 1266 . . . . . . 7
73723adant3 977 . . . . . 6
74 shmulcl 22720 . . . . . . . 8
751, 74mp3an1 1266 . . . . . . 7
76753adant2 976 . . . . . 6
7773, 76ovresd 6214 . . . . 5
7870, 77eqtrd 2468 . . . 4
7956, 65, 783eqtr4d 2478 . . 3
80 ax-hvdistr2 22512 . . . . 5
8149, 80syl3an3 1219 . . . 4
82 addcl 9072 . . . . . 6
83 ovres 6213 . . . . . 6
8482, 83sylan 458 . . . . 5
85843impa 1148 . . . 4
86663adant2 976 . . . . . 6
87 ovres 6213 . . . . . . 7
88873adant1 975 . . . . . 6
8986, 88oveq12d 6099 . . . . 5
90723adant2 976 . . . . . 6
91 shmulcl 22720 . . . . . . . 8
921, 91mp3an1 1266 . . . . . . 7
93923adant1 975 . . . . . 6
9490, 93ovresd 6214 . . . . 5
9589, 94eqtrd 2468 . . . 4
9681, 85, 953eqtr4d 2478 . . 3
97 ax-hvmulass 22510 . . . . 5
9849, 97syl3an3 1219 . . . 4
99 mulcl 9074 . . . . . 6
100 ovres 6213 . . . . . 6
10199, 100sylan 458 . . . . 5
1021013impa 1148 . . . 4
10388oveq2d 6097 . . . . 5
104 ovres 6213 . . . . . . 7
10592, 104sylan2 461 . . . . . 6
1061053impb 1149 . . . . 5
107103, 106eqtrd 2468 . . . 4
10898, 102, 1073eqtr4d 2478 . . 3
109 eqid 2436 . . 3
1102, 12, 45, 52, 79, 96, 108, 109isvci 22061 . 2
111 normf 22625 . . 3
112 fssres 5610 . . 3
113111, 5, 112mp2an 654 . 2
114 fvres 5745 . . . . 5
115114eqeq1d 2444 . . . 4
116 norm-i 22631 . . . . 5
11749, 116syl 16 . . . 4
118115, 117bitrd 245 . . 3
119118biimpa 471 . 2
120 norm-iii 22642 . . . 4
12149, 120sylan2 461 . . 3
12266fveq2d 5732 . . . 4
123 fvres 5745 . . . . 5
12472, 123syl 16 . . . 4
125122, 124eqtrd 2468 . . 3
126114adantl 453 . . . 4
127126oveq2d 6097 . . 3
128121, 125, 1273eqtr4d 2478 . 2
1291sheli 22716 . . . 4
130 norm-ii 22640 . . . 4
13149, 129, 130syl2an 464 . . 3
132 ovres 6213 . . . . 5
133132fveq2d 5732 . . . 4
134 shaddcl 22719 . . . . . 6
1351, 134mp3an1 1266 . . . . 5
136 fvres 5745 . . . . 5
137135, 136syl 16 . . . 4
138133, 137eqtrd 2468 . . 3
139 fvres 5745 . . . 4
140114, 139oveqan12d 6100 . . 3
141131, 138, 1403brtr4d 4242 . 2
142 hhssnvt.1 . 2
14313, 24, 110, 113, 119, 128, 141, 142isnvi 22092 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706   wss 3320  cop 3817   class class class wbr 4212   cxp 4876   cdm 4878   crn 4879   cres 4880   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cle 9121  cabs 12039  cgr 21774  GIdcgi 21775  cablo 21869  cnv 22063  chil 22422   cva 22423   csm 22424  cno 22426  c0v 22427  csh 22431 This theorem is referenced by:  hhssnvt  22765  hhssvsf  22773  hhssims  22775  hhssmet  22777  hhssmetdval  22778  hhssbn  22780 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-ablo 21870  df-subgo 21890  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-nmcv 22079  df-hnorm 22471  df-hba 22472  df-hvsub 22474  df-sh 22709
 Copyright terms: Public domain W3C validator