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Theorem hhssnv 22764
Description: Normed complex vector space property of a subspace. (Contributed by NM, 26-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhssnvt.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssnv.2  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
hhssnv  |-  W  e.  NrmCVec

Proof of Theorem hhssnv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hhssnv.2 . . . . 5  |-  H  e.  SH
21hhssabloi 22762 . . . 4  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  AbelOp
3 ablogrpo 21872 . . . 4  |-  ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e. 
AbelOp  ->  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  GrpOp )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  e.  GrpOp
51shssii 22715 . . . . . 6  |-  H  C_  ~H
6 xpss12 4981 . . . . . 6  |-  ( ( H  C_  ~H  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
75, 5, 6mp2an 654 . . . . 5  |-  ( H  X.  H )  C_  ( ~H  X.  ~H )
8 ax-hfvadd 22503 . . . . . 6  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
98fdmi 5596 . . . . 5  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
107, 9sseqtr4i 3381 . . . 4  |-  ( H  X.  H )  C_  dom  +h
11 ssdmres 5168 . . . 4  |-  ( ( H  X.  H ) 
C_  dom  +h  <->  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( H  X.  H ) )
1210, 11mpbi 200 . . 3  |-  dom  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  =  ( H  X.  H
)
134, 12grporn 21800 . 2  |-  H  =  ran  (  +h  |`  ( H  X.  H ) )
14 sh0 22718 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  0h  e.  H )
151, 14ax-mp 8 . . . . 5  |-  0h  e.  H
16 ovres 6213 . . . . 5  |-  ( ( 0h  e.  H  /\  0h  e.  H )  -> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  ( 0h  +h  0h ) )
1715, 15, 16mp2an 654 . . . 4  |-  ( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 0h )  =  ( 0h  +h  0h )
18 ax-hv0cl 22506 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
1918hvaddid2i 22531 . . . 4  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
2017, 19eqtri 2456 . . 3  |-  ( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) 0h )  =  0h
21 eqid 2436 . . . . 5  |-  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )
2213, 21grpoid 21811 . . . 4  |-  ( ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  e.  GrpOp  /\  0h  e.  H )  ->  ( 0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  <-> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  0h ) )
234, 15, 22mp2an 654 . . 3  |-  ( 0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )  <-> 
( 0h (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) 0h )  =  0h )
2420, 23mpbir 201 . 2  |-  0h  =  (GId `  (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) )
25 ax-hfvmul 22508 . . . . . 6  |-  .h  :
( CC  X.  ~H )
--> ~H
26 ffn 5591 . . . . . 6  |-  (  .h  : ( CC  X.  ~H ) --> ~H  ->  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
)
2725, 26ax-mp 8 . . . . 5  |-  .h  Fn  ( CC  X.  ~H )
28 ssid 3367 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
29 xpss12 4981 . . . . . 6  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  H  C_ 
~H )  ->  ( CC  X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
)
3028, 5, 29mp2an 654 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
31 fnssres 5558 . . . . 5  |-  ( (  .h  Fn  ( CC 
X.  ~H )  /\  ( CC  X.  H )  C_  ( CC  X.  ~H )
)  ->  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  Fn  ( CC  X.  H ) )
3227, 30, 31mp2an 654 . . . 4  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  Fn  ( CC  X.  H )
33 ovelrn 6222 . . . . . . 7  |-  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  Fn  ( CC  X.  H
)  ->  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  <->  E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y ) ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  <->  E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y ) )
35 ovres 6213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) y )  =  ( x  .h  y ) )
36 shmulcl 22720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  (
x  .h  y )  e.  H )
371, 36mp3an1 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x  .h  y
)  e.  H )
3835, 37eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) y )  e.  H )
39 eleq1 2496 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  ( z  e.  H  <->  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  e.  H ) )
4038, 39syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  H )  ->  ( z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  z  e.  H ) )
4140rexlimivv 2835 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  CC  E. y  e.  H  z  =  ( x (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) y )  ->  z  e.  H )
4234, 41sylbi 188 . . . . 5  |-  ( z  e.  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  ->  z  e.  H )
4342ssriv 3352 . . . 4  |-  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  C_  H
44 df-f 5458 . . . 4  |-  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) : ( CC  X.  H
) --> H  <->  ( (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )  Fn  ( CC  X.  H
)  /\  ran  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  C_  H
) )
4532, 43, 44mpbir2an 887 . . 3  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) : ( CC  X.  H ) --> H
46 ax-1cn 9048 . . . . 5  |-  1  e.  CC
47 ovres 6213 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( 1 (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( 1  .h  x ) )
4846, 47mpan 652 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
1 (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( 1  .h  x ) )
491sheli 22716 . . . . 5  |-  ( x  e.  H  ->  x  e.  ~H )
50 ax-hvmulid 22509 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
5149, 50syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
5248, 51eqtrd 2468 . . 3  |-  ( x  e.  H  ->  (
1 (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  x )
53 id 20 . . . . 5  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
541sheli 22716 . . . . 5  |-  ( z  e.  H  ->  z  e.  ~H )
55 ax-hvdistr1 22511 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
y  .h  ( x  +h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z
) ) )
5653, 49, 54, 55syl3an 1226 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  (
x  +h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z ) ) )
57 ovres 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) z )  =  ( x  +h  z ) )
58573adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) z )  =  ( x  +h  z ) )
5958oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x  +h  z ) ) )
60 shaddcl 22719 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x  +h  z
)  e.  H )
611, 60mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( x  +h  z
)  e.  H )
62 ovres 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x  +h  z
)  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( x  +h  z ) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z ) ) )
6361, 62sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( x  e.  H  /\  z  e.  H
) )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( x  +h  z
) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z ) ) )
64633impb 1149 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x  +h  z ) )  =  ( y  .h  ( x  +h  z
) ) )
6559, 64eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( y  .h  (
x  +h  z ) ) )
66 ovres 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
67663adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
68 ovres 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z )  =  ( y  .h  z ) )
69683adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z )  =  ( y  .h  z ) )
7067, 69oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) )  =  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y  .h  z
) ) )
71 shmulcl 22720 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y  .h  x )  e.  H )
721, 71mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( y  .h  x
)  e.  H )
73723adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  x
)  e.  H )
74 shmulcl 22720 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  (
y  .h  z )  e.  H )
751, 74mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  z
)  e.  H )
76753adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y  .h  z
)  e.  H )
7773, 76ovresd 6214 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) ( y  .h  z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z
) ) )
7870, 77eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( y  .h  z ) ) )
7956, 65, 783eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H  /\  z  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) z ) )  =  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) z ) ) )
80 ax-hvdistr2 22512 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  +  z )  .h  x )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x
) ) )
8149, 80syl3an3 1219 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z )  .h  x )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x
) ) )
82 addcl 9072 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  +  z )  e.  CC )
83 ovres 6213 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  +  z )  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
8482, 83sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
85843impa 1148 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  +  z )  .h  x ) )
86663adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( y  .h  x ) )
87 ovres 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( z  .h  x ) )
88873adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( z  .h  x ) )
8986, 88oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( ( y  .h  x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z  .h  x
) ) )
90723adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y  .h  x )  e.  H )
91 shmulcl 22720 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z  .h  x )  e.  H )
921, 91mp3an1 1266 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( z  .h  x
)  e.  H )
93923adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
z  .h  x )  e.  H )
9490, 93ovresd 6214 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  .h  x
) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( ( y  .h  x
)  +h  ( z  .h  x ) ) )
9589, 94eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( ( y  .h  x )  +h  ( z  .h  x ) ) )
9681, 85, 953eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  +  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) ) )
97 ax-hvmulass 22510 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( y  x.  z
)  .h  x )  =  ( y  .h  ( z  .h  x
) ) )
9849, 97syl3an3 1219 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
)  .h  x )  =  ( y  .h  ( z  .h  x
) ) )
99 mulcl 9074 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y  x.  z
)  e.  CC )
100 ovres 6213 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  x.  z
)  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( y  x.  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x )  =  ( ( y  x.  z )  .h  x ) )
10199, 100sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  H
)  ->  ( (
y  x.  z ) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  x.  z
)  .h  x ) )
1021013impa 1148 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( ( y  x.  z
)  .h  x ) )
10388oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) ) )
104 ovres 6213 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  .h  x
)  e.  H )  ->  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x ) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
10592, 104sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  x  e.  H ) )  ->  ( y
(  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
1061053impb 1149 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z  .h  x
) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
107103, 106eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) )  =  ( y  .h  ( z  .h  x ) ) )
10898, 102, 1073eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  (
( y  x.  z
) (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x )  =  ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) ( z (  .h  |`  ( CC  X.  H
) ) x ) ) )
109 eqid 2436 . . 3  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  =  <. (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) >.
1102, 12, 45, 52, 79, 96, 108, 109isvci 22061 . 2  |-  <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>.  e.  CVec OLD
111 normf 22625 . . 3  |-  normh : ~H --> RR
112 fssres 5610 . . 3  |-  ( (
normh : ~H --> RR  /\  H  C_  ~H )  -> 
( normh  |`  H ) : H --> RR )
113111, 5, 112mp2an 654 . 2  |-  ( normh  |`  H ) : H --> RR
114 fvres 5745 . . . . 5  |-  ( x  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  x )  =  (
normh `  x ) )
115114eqeq1d 2444 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0  <->  ( normh `  x
)  =  0 ) )
116 norm-i 22631 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
11749, 116syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  H  ->  (
( normh `  x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
118115, 117bitrd 245 . . 3  |-  ( x  e.  H  ->  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0  <->  x  =  0h ) )
119118biimpa 471 . 2  |-  ( ( x  e.  H  /\  ( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  0 )  ->  x  =  0h )
120 norm-iii 22642 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
12149, 120sylan2 461 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( normh `  ( y  .h  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
12266fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y  .h  x ) ) )
123 fvres 5745 . . . . 5  |-  ( ( y  .h  x )  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  ( y  .h  x
) )  =  (
normh `  ( y  .h  x ) ) )
12472, 123syl 16 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y  .h  x ) )  =  ( normh `  ( y  .h  x ) ) )
125122, 124eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  (
normh `  ( y  .h  x ) ) )
126114adantl 453 . . . 4  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 x )  =  ( normh `  x )
)
127126oveq2d 6097 . . 3  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( abs `  y
)  x.  ( (
normh  |`  H ) `  x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( normh `  x ) ) )
128121, 125, 1273eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( y (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) x ) )  =  ( ( abs `  y
)  x.  ( (
normh  |`  H ) `  x ) ) )
1291sheli 22716 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
130 norm-ii 22640 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
13149, 129, 130syl2an 464 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( normh `  ( x  +h  y ) )  <_ 
( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
132 ovres 6213 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x (  +h  |`  ( H  X.  H
) ) y )  =  ( x  +h  y ) )
133132fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  =  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x  +h  y ) ) )
134 shaddcl 22719 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
1351, 134mp3an1 1266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( x  +h  y
)  e.  H )
136 fvres 5745 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  ( x  +h  y
) )  =  (
normh `  ( x  +h  y ) ) )
137135, 136syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x  +h  y ) )  =  ( normh `  ( x  +h  y ) ) )
138133, 137eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  =  (
normh `  ( x  +h  y ) ) )
139 fvres 5745 . . . 4  |-  ( y  e.  H  ->  (
( normh  |`  H ) `  y )  =  (
normh `  y ) )
140114, 139oveqan12d 6100 . . 3  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( ( normh  |`  H ) `  x
)  +  ( (
normh  |`  H ) `  y ) )  =  ( ( normh `  x
)  +  ( normh `  y ) ) )
141131, 138, 1403brtr4d 4242 . 2  |-  ( ( x  e.  H  /\  y  e.  H )  ->  ( ( normh  |`  H ) `
 ( x (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) y ) )  <_  (
( ( normh  |`  H ) `
 x )  +  ( ( normh  |`  H ) `
 y ) ) )
142 hhssnvt.1 . 2  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
14313, 24, 110, 113, 119, 128, 141, 142isnvi 22092 1  |-  W  e.  NrmCVec
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706    C_ wss 3320   <.cop 3817   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    <_ cle 9121   abscabs 12039   GrpOpcgr 21774  GIdcgi 21775   AbelOpcablo 21869   NrmCVeccnv 22063   ~Hchil 22422    +h cva 22423    .h csm 22424   normhcno 22426   0hc0v 22427   SHcsh 22431
This theorem is referenced by:  hhssnvt  22765  hhssvsf  22773  hhssims  22775  hhssmet  22777  hhssmetdval  22778  hhssbn  22780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-ablo 21870  df-subgo 21890  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-nmcv 22079  df-hnorm 22471  df-hba 22472  df-hvsub 22474  df-sh 22709
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