HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhsssh2 Unicode version

Theorem hhsssh2 21902
Description: The predicate " H is a subspace of Hilbert space." (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hhsssh2.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
Assertion
Ref Expression
hhsssh2  |-  ( H  e.  SH  <->  ( W  e.  NrmCVec  /\  H  C_  ~H ) )

Proof of Theorem hhsssh2
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . 3  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  =  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
2 hhsssh2.1 . . 3  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
31, 2hhsssh 21901 . 2  |-  ( H  e.  SH  <->  ( W  e.  ( SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  /\  H  C_  ~H )
)
4 resss 5016 . . . . 5  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  C_  +h
5 resss 5016 . . . . 5  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  C_  .h
6 resss 5016 . . . . 5  |-  ( normh  |`  H )  C_  normh
74, 5, 63pm3.2i 1130 . . . 4  |-  ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  C_  +h  /\  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) 
C_  .h  /\  ( normh 
|`  H )  C_  normh
)
81hhnv 21799 . . . . 5  |-  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.  e.  NrmCVec
91hhva 21800 . . . . . 6  |-  +h  =  ( +v `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
102hhssva 21891 . . . . . 6  |-  (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( +v `  W )
111hhsm 21803 . . . . . 6  |-  .h  =  ( .s OLD `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)
122hhsssm 21892 . . . . . 6  |-  (  .h  |`  ( CC  X.  H
) )  =  ( .s OLD `  W
)
131hhnm 21805 . . . . . 6  |-  normh  =  (
normCV
`  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
142hhssnm 21893 . . . . . 6  |-  ( normh  |`  H )  =  (
normCV
`  W )
15 eqid 2316 . . . . . 6  |-  ( SubSp ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  =  (
SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )
169, 10, 11, 12, 13, 14, 15isssp 21355 . . . . 5  |-  ( <. <.  +h  ,  .h  >. , 
normh >.  e.  NrmCVec  ->  ( W  e.  ( SubSp ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  <->  ( W  e.  NrmCVec  /\  ( (  +h  |`  ( H  X.  H ) )  C_  +h  /\  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) 
C_  .h  /\  ( normh 
|`  H )  C_  normh
) ) ) )
178, 16ax-mp 8 . . . 4  |-  ( W  e.  ( SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  ( (  +h  |`  ( H  X.  H
) )  C_  +h  /\  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) ) 
C_  .h  /\  ( normh 
|`  H )  C_  normh
) ) )
187, 17mpbiran2 885 . . 3  |-  ( W  e.  ( SubSp `  <. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >.
)  <->  W  e.  NrmCVec )
1918anbi1i 676 . 2  |-  ( ( W  e.  ( SubSp ` 
<. <.  +h  ,  .h  >. ,  normh >. )  /\  H  C_ 
~H )  <->  ( W  e.  NrmCVec  /\  H  C_  ~H ) )
203, 19bitri 240 1  |-  ( H  e.  SH  <->  ( W  e.  NrmCVec  /\  H  C_  ~H ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    C_ wss 3186   <.cop 3677    X. cxp 4724    |` cres 4728   ` cfv 5292   CCcc 8780   NrmCVeccnv 21195   SubSpcss 21352   ~Hchil 21554    +h cva 21555    .h csm 21556   normhcno 21558   SHcsh 21563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862  ax-hilex 21634  ax-hfvadd 21635  ax-hvcom 21636  ax-hvass 21637  ax-hv0cl 21638  ax-hvaddid 21639  ax-hfvmul 21640  ax-hvmulid 21641  ax-hvmulass 21642  ax-hvdistr1 21643  ax-hvdistr2 21644  ax-hvmul0 21645  ax-hfi 21713  ax-his1 21716  ax-his2 21717  ax-his3 21718  ax-his4 21719
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-icc 10710  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-lm 17015  df-haus 17099  df-grpo 20911  df-gid 20912  df-ginv 20913  df-gdiv 20914  df-ablo 21002  df-subgo 21022  df-vc 21157  df-nv 21203  df-va 21206  df-ba 21207  df-sm 21208  df-0v 21209  df-vs 21210  df-nmcv 21211  df-ims 21212  df-ssp 21353  df-hnorm 21603  df-hba 21604  df-hvsub 21606  df-hlim 21607  df-sh 21841  df-ch 21856  df-ch0 21887
  Copyright terms: Public domain W3C validator