HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hhssvsf Structured version   Unicode version

Theorem hhssvsf 22775
Description: Mapping of the vector subtraction operation on a subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hhsssh2.1  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
hhssba.2  |-  H  e.  SH
Assertion
Ref Expression
hhssvsf  |-  (  -h  |`  ( H  X.  H
) ) : ( H  X.  H ) --> H

Proof of Theorem hhssvsf
StepHypRef Expression
1 hhsssh2.1 . . 3  |-  W  = 
<. <. (  +h  |`  ( H  X.  H ) ) ,  (  .h  |`  ( CC  X.  H ) )
>. ,  ( normh  |`  H ) >.
2 hhssba.2 . . 3  |-  H  e.  SH
31, 2hhssnv 22766 . 2  |-  W  e.  NrmCVec
41, 2hhssba 22773 . . 3  |-  H  =  ( BaseSet `  W )
51, 2hhssvs 22774 . . 3  |-  (  -h  |`  ( H  X.  H
) )  =  ( -v `  W )
64, 5nvmf 22129 . 2  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  (  -h  |`  ( H  X.  H ) ) : ( H  X.  H ) --> H )
73, 6ax-mp 8 1  |-  (  -h  |`  ( H  X.  H
) ) : ( H  X.  H ) --> H
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3819    X. cxp 4878    |` cres 4882   -->wf 5452   CCcc 8990   NrmCVeccnv 22065    +h cva 22425    .h csm 22426   normhcno 22428    -h cmv 22430   SHcsh 22433
This theorem is referenced by:  hhssims  22777
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072  ax-hilex 22504  ax-hfvadd 22505  ax-hvcom 22506  ax-hvass 22507  ax-hv0cl 22508  ax-hvaddid 22509  ax-hfvmul 22510  ax-hvmulid 22511  ax-hvmulass 22512  ax-hvdistr1 22513  ax-hvdistr2 22514  ax-hvmul0 22515  ax-hfi 22583  ax-his1 22586  ax-his2 22587  ax-his3 22588  ax-his4 22589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-topgen 13669  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-lm 17295  df-haus 17381  df-grpo 21781  df-gid 21782  df-ginv 21783  df-gdiv 21784  df-ablo 21872  df-subgo 21892  df-vc 22027  df-nv 22073  df-va 22076  df-ba 22077  df-sm 22078  df-0v 22079  df-vs 22080  df-nmcv 22081  df-ims 22082  df-ssp 22223  df-hnorm 22473  df-hba 22474  df-hvsub 22476  df-hlim 22477  df-sh 22711  df-ch 22726  df-ch0 22757
  Copyright terms: Public domain W3C validator