HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hi01 Unicode version

Theorem hi01 22447
Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hi01  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  A )  =  0 )

Proof of Theorem hi01
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 22355 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
2 ax-hvmul0 22362 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  (
0  .h  0h )  =  0h )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 0  .h  0h )  =  0h
43oveq1i 6031 . . 3  |-  ( ( 0  .h  0h )  .ih  A )  =  ( 0h  .ih  A )
5 0cn 9018 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 ax-his3 22435 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0h  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( 0  .h  0h )  .ih  A )  =  ( 0  x.  ( 0h  .ih  A ) ) )
75, 1, 6mp3an12 1269 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 0  .h  0h )  .ih  A )  =  ( 0  x.  ( 0h  .ih  A ) ) )
84, 7syl5eqr 2434 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  A )  =  ( 0  x.  ( 0h  .ih  A ) ) )
9 hicl 22431 . . . 4  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( 0h  .ih  A
)  e.  CC )
101, 9mpan 652 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  A )  e.  CC )
1110mul02d 9197 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  x.  ( 0h 
.ih  A ) )  =  0 )
128, 11eqtrd 2420 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6021   CCcc 8922   0cc0 8924    x. cmul 8929   ~Hchil 22271    .h csm 22273    .ih csp 22274   0hc0v 22276
This theorem is referenced by:  hi02  22448  hiidge0  22449  his6  22450  hial0  22453  normgt0  22478  norm0  22479  ocsh  22634  0hmop  23335  adj0  23346  lnopeq0i  23359  leop3  23477  leoprf2  23479  leoprf  23480  idleop  23483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-hv0cl 22355  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his3 22435
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059
  Copyright terms: Public domain W3C validator