HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hi01 Unicode version

Theorem hi01 21691
Description: Inner product with the 0 vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hi01  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  A )  =  0 )

Proof of Theorem hi01
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 21599 . . . . 5  |-  0h  e.  ~H
2 ax-hvmul0 21606 . . . . 5  |-  ( 0h  e.  ~H  ->  (
0  .h  0h )  =  0h )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 0  .h  0h )  =  0h
43oveq1i 5884 . . 3  |-  ( ( 0  .h  0h )  .ih  A )  =  ( 0h  .ih  A )
5 0cn 8847 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 ax-his3 21679 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0h  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( 0  .h  0h )  .ih  A )  =  ( 0  x.  ( 0h  .ih  A ) ) )
75, 1, 6mp3an12 1267 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( 0  .h  0h )  .ih  A )  =  ( 0  x.  ( 0h  .ih  A ) ) )
84, 7syl5eqr 2342 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  A )  =  ( 0  x.  ( 0h  .ih  A ) ) )
9 hicl 21675 . . . 4  |-  ( ( 0h  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( 0h  .ih  A
)  e.  CC )
101, 9mpan 651 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  A )  e.  CC )
1110mul02d 9026 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
0  x.  ( 0h 
.ih  A ) )  =  0 )
128, 11eqtrd 2328 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( 0h  .ih  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758   ~Hchil 21515    .h csm 21517    .ih csp 21518   0hc0v 21520
This theorem is referenced by:  hi02  21692  hiidge0  21693  his6  21694  hial0  21697  normgt0  21722  norm0  21723  ocsh  21878  0hmop  22579  adj0  22590  lnopeq0i  22603  leop3  22721  leoprf2  22723  leoprf  22724  idleop  22727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-hv0cl 21599  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his3 21679
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator