Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Unicode version

Theorem hilablo 21853
 Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 21693 . . 3
2 ax-hfvadd 21694 . . 3
3 ax-hvass 21696 . . 3
4 ax-hv0cl 21697 . . 3
5 hvaddid2 21716 . . 3
6 neg1cn 9903 . . . 4
7 hvmulcl 21707 . . . 4
86, 7mpan 651 . . 3
9 ax-hvcom 21695 . . . . 5
108, 9mpancom 650 . . . 4
11 hvnegid 21720 . . . 4
1210, 11eqtrd 2390 . . 3
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 20977 . 2
142fdmi 5477 . 2
15 ax-hvcom 21695 . 2
1613, 14, 15isabloi 21067 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1642   wcel 1710   cxp 4769  (class class class)co 5945  cc 8825  c1 8828  cneg 9128  cablo 21060  chil 21613   cva 21614   csm 21615  c0v 21618 This theorem is referenced by:  hilid  21854  hilvc  21855  hhnv  21858  hhba  21860  hhph  21871  hhssva  21950  hhsssm  21951  hhssabloi  21953  hhshsslem1  21958  shsval  22005 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hvass 21696  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvdistr2 21703  ax-hvmul0 21704 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-ltxr 8962  df-sub 9129  df-neg 9130  df-grpo 20970  df-ablo 21061  df-hvsub 21665
 Copyright terms: Public domain W3C validator