HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilablo Unicode version

Theorem hilablo 21853
Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hilablo  |-  +h  e.  AbelOp

Proof of Theorem hilablo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 21693 . . 3  |-  ~H  e.  _V
2 ax-hfvadd 21694 . . 3  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
3 ax-hvass 21696 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( x  +h  y
)  +h  z )  =  ( x  +h  ( y  +h  z
) ) )
4 ax-hv0cl 21697 . . 3  |-  0h  e.  ~H
5 hvaddid2 21716 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( 0h  +h  x )  =  x )
6 neg1cn 9903 . . . 4  |-  -u 1  e.  CC
7 hvmulcl 21707 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( -u 1  .h  x )  e.  ~H )
86, 7mpan 651 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( -u 1  .h  x )  e.  ~H )
9 ax-hvcom 21695 . . . . 5  |-  ( ( ( -u 1  .h  x )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( -u 1  .h  x )  +h  x
)  =  ( x  +h  ( -u 1  .h  x ) ) )
108, 9mpancom 650 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( -u 1  .h  x
)  +h  x )  =  ( x  +h  ( -u 1  .h  x
) ) )
11 hvnegid 21720 . . . 4  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  ( -u
1  .h  x ) )  =  0h )
1210, 11eqtrd 2390 . . 3  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( -u 1  .h  x
)  +h  x )  =  0h )
131, 2, 3, 4, 5, 8, 12isgrpoi 20977 . 2  |-  +h  e.  GrpOp
142fdmi 5477 . 2  |-  dom  +h  =  ( ~H  X.  ~H )
15 ax-hvcom 21695 . 2  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( x  +h  y
)  =  ( y  +h  x ) )
1613, 14, 15isabloi 21067 1  |-  +h  e.  AbelOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1642    e. wcel 1710    X. cxp 4769  (class class class)co 5945   CCcc 8825   1c1 8828   -ucneg 9128   AbelOpcablo 21060   ~Hchil 21613    +h cva 21614    .h csm 21615   0hc0v 21618
This theorem is referenced by:  hilid  21854  hilvc  21855  hhnv  21858  hhba  21860  hhph  21871  hhssva  21950  hhsssm  21951  hhssabloi  21953  hhshsslem1  21958  shsval  22005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-hilex 21693  ax-hfvadd 21694  ax-hvcom 21695  ax-hvass 21696  ax-hv0cl 21697  ax-hvaddid 21698  ax-hfvmul 21699  ax-hvmulid 21700  ax-hvdistr2 21703  ax-hvmul0 21704
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-ltxr 8962  df-sub 9129  df-neg 9130  df-grpo 20970  df-ablo 21061  df-hvsub 21665
  Copyright terms: Public domain W3C validator